例談排列組合問題的常用解法

谷佳文

在高中數學教學中，排列組合是比較重要的部分，但是排列組合這部分的習題不容易找到規律，如果學生不夠仔細，很容易出現遺漏的現象，這部分內容的學習對學生來說一直是一個難點.所以教師應該在教學的過程中總結一些比較適用的解題方法，教會學生遇到不同類型的排列組合題目應該怎樣思考，幫助學生學好排列組合方面的內容.

一、 解排列組合問題應注意的問題

在進行排列組合這部分問題的求解過程中，教師應該提醒學生注意一些在解題中經常容易出現的問題.

首先，要讓學生先弄明白是要分類計算還是要分步計算.如果采用分類計算方式，那么所有類別之間必須是相互獨立沒有任何交集的，否則不能采用分類計數法進行解題.而對于分步計數的解題方法來說，每個步驟之間應該是互不干擾的，并且要求學生必須嚴格遵守解題的步驟，一步一步認真地進行計算，這樣才能避免解題中的錯誤.

其次，在解決排列組合問題時，大多是先組合后排列，先對題目中的對象進行分類組合，然后再分步進行排列的計算，這樣一步一步地進行，層次鮮明，不容易遺漏.

最后，教師應該讓學生明確排列組合的概念和含義，讓學生明確排列組合的公式是進行解題的基礎，只有掌握好基礎的問題，才能在解題的時候做到快速準確.

二、排列組合問題的常用解法

1. 捆綁法.

捆綁法就是將一些元素當成一個整體，然后進行排列組合，這是數學中整體思想的一個良好體現.

例如：現有A、B、C、D、E五名同學，讓這五名同學排成一排，如果規定A與B必須相鄰，且B在A的右邊，那么請問有多少種不同的排法.

解析：本題中對A與B兩個同學的位置有要求，那么我們先將這兩個同學看成一個整體，然后與其他三名同學進行排列，這樣就很容易得出相應的結果.這就是捆綁法在習題中的運用，可以幫助學生快速準確地進行解題.

2.特殊元素優先法.

在排列組合問題中，總會出現一些十分特殊的元素，對于這一類排列組合問題，我們應該先解決特殊的部分，當特殊的元素確定之后，再進行一般部分的求解.

例如：現在1、2、3、4、5、6這六個數字中任取四個數字組成沒有重復數字的四位數，求滿足下列條件的四位數各有多少個.（1）數字1不排在個位和千位；（2）數字1不在個位，數字6不在千位.

解析：首先我們先看第一小問，這一問比較簡單，由于數字1不能在個位和千位，所以個位和千位分別有五種選法，然后運用乘法原理可知答案為240.而第二問就要用到特殊元素優先法，先將千位和個位確定好，然后再確定十位和百位，最后結果為252.

3.插空法.

插空法在排列組合中的應用，大多是用于解決某幾個元素不相鄰的問題，對于這類問題，我們就可以先將不相鄰的元素進行排列，然后將其他元素插入空中，讓問題變得更容易.

例如：一臺晚會，原本有八個節目，但是在晚會開始之前，要臨時在成績單中加入兩個節目，而且要保持原來的節目順序不發生變化，請問有多少種排列方法.

解析：這是一道典型的運用插空法的排列組合問題，原有八個節目，那么就相當于有九個空，當插入一個節目后，就變成有十個空，第二個節目可以任意插在這十個空中，這樣就很容易得出最后的答案了.

4.插板法.

在排列組合中經常會遇到一些指標的分配、求不定方程的整數解的個數的問題，在這類問題中我們可以運用插入隔板的方法進行解題.

例如：某學校要組建一支籃球隊，需要選拔十二名隊員，這個學校有八個班級，要求每個班級至少選出一人加入籃球隊，那么請問有多少種選拔方法？

解析：這道題的實質就是將十二個名額分給八個班級，每個班級至少得到一個名額，那么十二個名額就相當于有十一個空，需要在這十一個空中插入七塊木板，木板有多少種插法，名額就有多少種分配方法.

5.間接法.

在排列組合問題中經常見到“至多”“恰好”這一類的字眼，對于這樣的問題，如果直接根據題意進行求解，比較復雜，那么就可以從相反的方面進行解題，然后再從總體中減去這一部分，就可以得出相應的結果.

例如：某村要從村里的十名大學生中選出三人擔任村長助理，已知甲、乙至少有一人當選，而丙沒有入選，那么請問有多少種不同的選法.

解析：由于題目中說明丙沒有入選，那么這道題就可以轉化成在九名大學生中選擇三人，而甲乙至少有一人入選，如果直接計算，則要考慮的方面較多，那么我們就可以采用間接方法計算，先算出甲乙都沒有入選有多少種選法，以及如果沒有任何要求，有多少種選法，用后者減去前者，就是本題的答案.

三、結語

雖然排列組合問題是學生學習生活中的一個難點，但是只要教師在教學過程中能夠善于總結解題方法，并讓學生學會這些解題技巧，那么相信排列組合就會變得相對簡單，不會讓學生感到太復雜.

（責任編輯 黃春香）