引領學生走進數學反思的殿堂

唐杰

反思是指自覺地對數學認知活動進行考察、分析、總結、評價、調節的過程，是學生調控學習的基礎，是認知過程中強化自我意識、進行自我監控、自我調節的主要形式。荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾指出“反思是數學思維活動的核心和動力”。反思不僅僅是對數學學習一般性的回顧或重復，而是數學活動中所涉及的知識、方法、思路、策略等，具有較強的科學研究的性質。反思可以幫助學生從例行公事的行為中解放出來，擺脫題海戰術，幫助他們學會數學學習；可以使學生的數學學習活動成為有目標、有策略的主動行為；可以使學習成為探究性、研究性的活動，增強學生的能力，提高個人的創造力；可以有利于學生在學習活動中獲得個人體驗，使他們變得更加成熟，促進他們的全面發展。

一、高中數學學習中需要反思的內容

反思一：“新舊之交”。學習本身是一種認識過程，在這個課程中，個體的學習總是要通過已知的內部認知結構，也就是說學生能從原有的知識結構中提取最有效的舊知識來吸納新知識，即找到新舊知識的“媒介點”。這樣，新舊知識在學生的頭腦中發生積極的相互作用和聯系，導致原有知識結構的不斷優化和重新組合，使學生獲得新知識。反思二：“萬眾之要”。“萬眾之要”就是要會從眾多的知識與如海題目中尋找規律，把握規律，并達到以不變應萬變、以一總萬的目的。反思是自覺追尋、歸納、總結并進行靈活運用的有效手段和必經過程。反思就要關注解題過程中的知識聯系及行之有效的解題思路，將課本學薄，將所有知識變成結晶。反思三：“反三之機”。“舉一反三”是一種高層次的學習境界，是靈活變通的思維表征。“反三”既是對舊知的進一步深化，又是對新問題的深邃理解，“反三”是訓練數學思維敏捷性與能動性的最好途徑。反思四：“反思之反思”。學生的情感、態度、價值觀念會直接影響到學習的效果，學生的志向、意志、習慣也決定了學習動機以及學習行為，因此延續學生的學習興趣，堅定學生的學習動機，培養學生的學習耐力尤為重要。讓學生關注點滴的進步，欣賞局部的成功，將己導入快樂學習的碧海藍天。反思是一架促使學生對成功與失敗的經驗教訓總結分析的推進機。

二、引導學生反思、培養學生反思能力的有效做法

1. 利用“還課”的方式引導學生對聽課進行反思

課堂是學生獲取知識的主要場所，但許多數學知識僅憑課堂專心聽講是難以真正做到理解和掌握的，還必須經過反思這一環節得以消化、吸收。課堂筆記則是反思性學習的基礎，學生課后通過閱讀筆記，再沿著教師講解的內容、思路或方法對其反思，認真消化，把教師解決問題的思想方法及對問題的認識轉化為自己的學習過程，并在反思課堂內容的基礎上進行再創造，用“還課”的方式講給老師、同學、家長或自己聽。

筆者認為學生在知識學習中，能夠聽懂別人的講述是一個層次，屬淺層次；能夠用一定的方式方法講出來使別人聽得懂，屬一個較高的層次；能夠用多種方式講解以使別人聽懂，則屬最高的層次。因此，在教學中要求學生以講課的形式，將上一節課或前面學過的數學知識，講解給同學或老師聽，并力求用各種方法講解以求達到使他們聽懂的目的，即為“還課”。“還課”可以讓學生深入透徹地理解數學概念、命題的內涵，了解數學知識之間的關系以及數學知識所蘊涵的數學思想方法，獲取有效的數學知識和解決問題策略，進而形成良好的數學認知結構，進一步促進數學學習。同時“還課”不僅要求學生向老師、同伴講解，而且還要求學生接受老師與同伴的質疑，這些都督促著師生之間、生生之間交流與合作的發生與交流。因此“還課”融合了多種學習方式于一體，可以促進學生學習方式的轉變與優化，提高數學學習的主動性、自主性。

2. 利用波利亞的“怎樣解題表”對解題進行反思

波利亞在《怎樣解題》中對數學解題劃分為四個階段：弄清問題→擬定計劃→實現計劃→回顧，其中“回顧”就是解題后的反思，它是解題思維過程中的深化和提高。解題過程的反思，實際是解題學習的信息反饋調控階段，通過反思，有利于學生深層次的建構。

3. 利用“數學周記”的形式在單元小結中進行反思

學習是一個系統工程，培養反思習慣的措施，是全方位、多角度、多層次的反思。課堂上教師示范解題反思的過程中學生自己想到，但未與教師交流的問題，作業中對某些習題不同解法的探討，學習情感、體驗的感受，都可以通過數學周記的形式記錄下來，它使師生之間有了一個互相了解、交流的固定橋梁。引導學生對一單元的知識、方法進行反思性總結，讓學生自行編制知識網絡，使知識更加系統化，而且對單元中隱含的思維特征予以反思，理清思路。反思自己對這一單元中知識的認識是否達到所要求的程度，自己對這些知識是否有了新的認識，原有的認識有什么欠缺之處，這種欠缺是如何造成的，如果需要補救必須及時進行。

4. 利用“錯題集”的形式對測試進行反思

每次考試后，教師與學生都有一大堆遺憾，許多題目講過了、考過了，有的還不只考過一遍，最終還是錯了，拿不到分數。這主要是因為我們知識結構的殘缺和認識上的盲點造成的。要克服這一弊病，最佳的方法就是建立一本錯題集。所謂“錯題集”就是要求學生準備一本較厚的筆記本，把平時作業及考試中做錯的典型性錯誤找出來，把錯誤的習題從講義或試卷上“剪切”下來，“粘貼”并整理編輯在筆記本上。它既是學生積累學習經驗和學習資料的寶庫，又是教師改進教學、探索規律、研究學生的重要依據，更是提高考試質量的有效措施。

目前數學教學中最薄弱的正是數學的反思性學習這一環節，而它又是數學學習活動的最重要的環節。美籍數學教育家波利亞曾說，“如果沒有了反思，他們就錯過了解題的一次重要而有效益的方面”。由于數學對象的抽象性、數學活動的探索性、數學推理的嚴謹性和數學語言的特殊性，決定了正處于思維發展階段的高中生不可能一次地直接把握數學活動的本質，必須要經過多次的反復思考、深入研究、自我調整，即堅持數學反思，才能減少操作性數學學習，才能洞察數學活動的本質特征。