新課程數(shù)學(xué)教學(xué)中必須加強(qiáng)發(fā)散思維的培養(yǎng)

楊福能

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的一個理念就是：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。這些方式使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程。美國心理學(xué)家吉爾福特說過：“人的創(chuàng)造力主要依靠發(fā)散思維，它是創(chuàng)造思維的主要成分。”徐利治教授則說：“數(shù)學(xué)的新思想、新概念和新方法往往來源于發(fā)散思維?！卑l(fā)散思維是多角度、多方位思考，尋求變異，探索多種解決問題的方案或新途徑的思維形式，具有流暢性、變通性、獨(dú)特性等特點(diǎn)。中學(xué)生具有好奇、好勝、敢想、敢創(chuàng)等心理特點(diǎn)，他們的思維具有創(chuàng)新求異的潛質(zhì)，教師應(yīng)充分發(fā)掘中學(xué)生心理特點(diǎn)的優(yōu)勢，在教學(xué)中精心培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力。

一、構(gòu)建“數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)”，培養(yǎng)思維“流暢性”

在教師用書的首頁說明中，新課程倡導(dǎo)教師通過不同數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系與啟發(fā)，強(qiáng)調(diào)類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法的應(yīng)用，認(rèn)知心理學(xué)關(guān)于學(xué)習(xí)機(jī)制的最新研究成果揭示了學(xué)習(xí)主動性的本質(zhì)是認(rèn)識主體的主動建構(gòu)。注重創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生自己領(lǐng)悟、建構(gòu)、能引起認(rèn)知沖突的問題情景，以使學(xué)生在原有知識基礎(chǔ)（已知區(qū)）和所要完成的學(xué)習(xí)目標(biāo)（未知區(qū)）之間搭建支架（最近發(fā)展區(qū)），形成由淺入深的臺階（知識增長點(diǎn)），便于新知識的內(nèi)悟、同化或順應(yīng)。

案例1 在《等比數(shù)列》教學(xué)中，借用選修2-2中《合情推理》，通過定義內(nèi)涵的類比、外延類比，通過公式（通項公式及其推導(dǎo)方法、前n項和）的結(jié)構(gòu)類比，運(yùn)用知識的解法類比等等，在類比和自主選擇中學(xué)習(xí)、理解、掌握等比數(shù)列的有關(guān)知識。教學(xué)中要給學(xué)生提供展示的機(jī)會，鼓勵猜想，并加以引導(dǎo)，充分保護(hù)那份可貴的好奇心，同時還要給學(xué)生自由的討論機(jī)會，進(jìn)一步解決問題。

思維流暢性與思維邏輯性直接相關(guān)，在教學(xué)中既要注意使知識在層次上不斷深化，更要注意把新知識及時納入已有的知識體系，做到善于把問題轉(zhuǎn)換化歸，善于使用數(shù)學(xué)模式，勉勵學(xué)生在大腦記憶中構(gòu)建“數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)”，形成一個條理化、網(wǎng)絡(luò)化的系統(tǒng)。在解題時就能由題目所提供的要素，在系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)中較快地檢索到有關(guān)信息，尋找到較準(zhǔn)確的解題途徑，優(yōu)化解題過程。例如，求函數(shù)的值域（或最值問題）應(yīng)幫助學(xué)生歸納出如下數(shù)學(xué)思想方法：求導(dǎo)法、配方法、利用單調(diào)性、基本不等式法、數(shù)形結(jié)合法、換元法等。這樣，學(xué)生在解有關(guān)值域（最值）問題時，就不會像“玻璃窗上蒼蠅——亂碰亂闖”，達(dá)到心智活動暢通少阻，靈敏迅速。

案例2 已知y=（log2x-1）log2ab-6log2x logab+ log2x+1

（a>0 且a ≠1，a為常數(shù)），當(dāng)x在區(qū)間[1，2]內(nèi)任意取值時，y的值恒為正，求b的取值范圍。

本題的情景陌生，變元較多，很難找到切入口，許多學(xué)生只能望題興嘆，如果令log2x=t，則問題就轉(zhuǎn)化為“關(guān)于t的一次函數(shù)或常函數(shù)f（t）= （ log2ab-6 logab+1）t+1- log2ab在[0，1]上的值恒正，求b的取值范圍?！边@是同學(xué)們十分熟悉的基本題型。

二、學(xué)生學(xué)會多方位思考，培養(yǎng)思維的“變通性”

榜樣的示范作用對發(fā)散思維的訓(xùn)練是不容忽視的。如在《等差數(shù)列求和公式》的教學(xué)中，數(shù)學(xué)家高斯10歲時他的數(shù)學(xué)老師為了回家關(guān)煤氣爐，出“1+2+3+…+100”這道題，高斯認(rèn)為老師應(yīng)該不是要學(xué)生從頭加，他就倒過來加，感覺是一樣算法，利用數(shù)學(xué)的對稱美發(fā)現(xiàn)了快速的計算方法。讓學(xué)生感受要從不同的角度尋找解題的突破口。

不少學(xué)生總習(xí)慣于搬用已有的經(jīng)驗(yàn)，機(jī)械模仿，表現(xiàn)出思維的依賴性、呆板性。為了幫助學(xué)生克服思維定勢的負(fù)遷移，筆者采取如下對策：（1）有意巧設(shè)“陷阱”，讓學(xué)生在“掉井”后驚呼上當(dāng)。如判斷y=x2，x∈[-1，2]的奇偶性？（2）變換提問方式，創(chuàng)造新穎設(shè)問方式，例如，“m為何實(shí)數(shù)時，不等式x2-mx+1>0的解集為R？”可變換提問為：“當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時，y=x2-mx+1與x軸無交點(diǎn)？”或“當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時，函數(shù)y=x2-mx+1無零點(diǎn)？”（3）改進(jìn)教法，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新意識。通過這種有意識的加強(qiáng)訓(xùn)練，提高學(xué)生隨機(jī)應(yīng)變能力，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)散思維的變通性。

在教學(xué)中，教師若能抓住一切有利時機(jī)，精心設(shè)計一些旨在發(fā)展學(xué)生發(fā)散性思維的多解性（一題多解）例題，經(jīng)常有意識地啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生從不同的方向，變換思維角度進(jìn)行廣泛探索與求解，這不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生“變通性”思維的能力，而且對提高學(xué)生的創(chuàng)新意識也是大有裨益的。

案例3 已知圓的方程：x2+y2=4，求過點(diǎn)A（1， ）的切線方程

法一：待定系數(shù)法 可設(shè)所求切線方程為：y-=k（x-1）代數(shù)法，方程組的解得問題；

法二：依題意可設(shè)所求切線方程為：y-=k（x-1） 幾何法 利用d=r

法三 ∵kOA==

OA⊥l借助平面幾何圓的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合。

三、在探究活動中，培養(yǎng)思維的“獨(dú)特性”

數(shù)學(xué)探究有機(jī)地滲透在每個模塊教學(xué)和習(xí)題設(shè)置中，如何利用教材設(shè)置的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有價值的數(shù)學(xué)探究？在例、習(xí)題教學(xué)中，在學(xué)生掌握基本方法的同時，應(yīng)在學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，有意識地創(chuàng)設(shè)新的思維情境，激勵學(xué)生不依常規(guī)、不受教材與教師傳授的方法的束縛，引導(dǎo)學(xué)生多角度、全方位地思考問題，鼓勵學(xué)生標(biāo)新立異、探究新解，達(dá)到鍛煉學(xué)生思維創(chuàng)造的目的，切實(shí)改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。同時以“變”的魅力來深深地吸引他們的好奇心、好勝心，促使學(xué)生愛好數(shù)學(xué)。

案例4 《人教A版必修2 2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系》中的例2教學(xué)中，（1）若把條件改為：E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且===≠1，那么四邊形EFGH是什么圖形？為什么？（2）在例2中，如果再加上條件AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形？探究活動（1）是對它橫向的拓寬，

探究活動（2）是對它縱向的深入，將條件再改為“=，=”弱化了一個條件后，結(jié)論又如何？而條件“AC=BD”的加入，四邊形的形狀又有了質(zhì)的變化，若加入“AC⊥BD”又會怎么樣。這一探究活動，學(xué)生體驗(yàn)了數(shù)學(xué)知識的千變?nèi)f化，通過橫向的拓寬和縱向的深入，設(shè)常量為變量拓展問題；弱化或強(qiáng)化條件與結(jié)論，揭示出它與某類問題的聯(lián)系與區(qū)別，并變更出新的命題。這樣，無論從內(nèi)容的發(fā)散，還是解題思維的深入，都讓學(xué)生體驗(yàn)到如何將數(shù)學(xué)知識進(jìn)行變更，在解決相關(guān)問題時也能得心應(yīng)手。對學(xué)生在探究活動中表現(xiàn)出來的新異獨(dú)特的思考方法和解題思路要表示極大的贊賞，并不失時機(jī)地激勵學(xué)生把學(xué)習(xí)探究變成自己求知的一大樂趣。

在教學(xué)中要善于抓住發(fā)散思維、學(xué)生心理、新教材三方面特點(diǎn)的契合點(diǎn)，精心設(shè)計一個個較好的發(fā)散思維情景，創(chuàng)造一個個利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的機(jī)會，不斷拓展發(fā)散思維的空間，及時鼓勵贊美學(xué)生，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，敢于打破思維定勢的框套，為創(chuàng)新能力打好基礎(chǔ)。