函數y=Asin（ωx+φ）教學初探

蔣春光

在物理和工程技術的許多問題中，都要遇到形如y=ASin（ωx+φ）的函數解析式（其中A、ω、φ都是常數）。例如，物體做簡諧振動時位移s與時間t的關系，交流電中電流i與時間t的關系等，都可以表示成這類函數。教學大綱與考試說明對函數y=ASin（ωx+φ）的教學與考查提出了具體要求：一是要求函數y=ASin（ωx+φ）的周期，或經過簡單的恒等變形可化為上述函數的周期；二是會用五點法畫函數y=ASin（ωx+φ）的簡圖。這就充分說明了函數y=ASin（ωx+φ）在中學數學中有著重要的地位。筆者根據自己的教學實踐，對函數y=ASin（ωx+φ）的教學中應該注意的若干問題作了些探討。

一、立足于函數y=（ωx+φ）的簡圖的作法，強化基礎知識的教學。

關于函數y=（ωx+φ）簡圖的作法。教材給出四道例題，例題是循序漸進式的，是教學的重點。然后，由特殊到一般地歸納出了函數y=ASin（ωx+φ）的圖象與函數y=ASinx、y=ASinωx、y=ASin（ωx+φ）的關系。

繪制出函數y=ASin（ωx+φ）的簡圖，教材中介紹了兩種方法：一是“五點法”，二是圖象變換法。兩種方法是教材提出的基本要求五點法是畫草圖的具體操作而變換法才是基礎目的。

1：“五點法”，即函數的一個周期內的五個最具特征的五個點即（0，0）（ ，1）（ ，0）（ ，-1）（2 ，0）

“五點法”是作函數y=ASin（ωx+φ）的簡圖最有效的方法之一，學生掌握起來并不困難，在教學中，可以充分運用教材上的四道例題，向學生講清楚在一個周期內起關鍵作用的五個點。

2：運用圖象變換的方法也可以作出y=ASin（ωx+φ）的簡圖，但在實際的教學中實施起來并不容易，課本介紹變換法的目的是在于揭示各種正弦圖象間的內在聯系，而并不是用變換法來作圖，教學的重點在于幫助學生掌握振幅（A）變換、周期（T）變換。相位（φ）變換、上下平移變換的基本規律，并清楚各種不同的正弦型函數的圖象間的關系。

與五點法相比較，學生對于圖象變換法的掌握就顯得不那么容易了，教材中首先通過三個例子介紹了y=ASinx、y=ASinωx和y=ASin（ωx+φ）這三類函數圖象的作法，并把他們的圖函與y=ASinx的圖象作比較，指出這三個圖象可以通過y=Sinx分別作振幅變換、周期變換和相位變換而得到，然后在此基礎上討論一般的正弦函數y=ASin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象的作法（例三）。

二、注重數學思想方法的滲透與提煉，優化學生的思維品質

數學思想是數學研究活動中解決問題的根本方法，是對數學規律理性認識，是數學的靈魂。函數y=ASin（ωx+φ）這一節教材，原有豐富的思想方法的內容，教學過程中，注意認真地挖掘與提煉，對開發學生的智力，培養學生的能力，優化學生的思維品質，具有十分重要的意義。

1：提煉特殊到一般的思想方法，培養學生的抽象思維能力。

教材中關于函數圖象的振幅、周期、相位等變換，都是通過對特殊例題的研究，再抽象概括出一般的結論。教學時，應充分注意引導學生去發現/歸納和抽象，防止因教師包辦而失去培養學生思維品質的良機。

2：挖掘數形結合的思想方法，培養學生的形象思維能力。

數形結合的思想方法，在中學教學中有著十分重要的地位，函數y=ASin（ωx+φ）的圖象直觀而形象地顯示了函數y=ASin（ωx+φ）的有關性質，借助圖象，則能迅速，簡捷地求解與y=ASin（ωx+φ）有關的函數的值域（最值）、周期、單調性，對稱軸方程等，教學過程中，必須選編一些難易適度的習題，引導學生進行運用圖象解題的訓練提高學生運用圖象解題的能力。

3：滲透等價轉化的基本思想方法，培養學生的邏輯思維能力。

等價轉化是數學中最基本和最常用的方法，進行函數y=ASin（ωx+φ）的教學，特別是在學期復習時，要善于引導學生將某些復雜的三角函數式等價地轉換為y=ASin（ωx+φ）的形式，再借助其圖象與性質，研究其解法，這樣有利用綜合復習，又可以有效地提高學生的邏輯思維能力。

例一、已知函數y=（x）=3Sinxωsx-5 cos + （x R）

求函數的振幅，最小正周期，單調增區間，對稱軸方程。分析：利用三角公式，將已知函數式恒等變形，得，y=5Sin（2x- ）問題就轉化為函數y=ASin（ωx+φ）的性質研究，問題便不攻自破。

例二、求函數y=3Sin（x+20）+5Sin（x+80）的最值。

分析：利用兩角和的正弦公式，將所有給函數式變形

y=3Sin（x+20）+5Sin{（x+20）+60}

= Sin（x+20）+ cos（x+20）

=7Sin（x+20+φ） 其中tgφ=

Ymax=7，Ymin=-7

經常有意識地進行類似的等價轉換的訓練，對于增強學生的化意識是大有好處的。

4：揭示正難則反的思想方法，培養學生的逆向思維能力。

與作函數y=ASin（ωx+φ）的簡圖的思維過程相反的一類問題是由y=ASin（ωx+φ）的簡圖或由已知函數的變換關系確定其解析式。這是進行逆向思維訓練的極好題材，課本上缺少這樣的例題，而在各級各類考試中常常出現，所以應加強這方面的訓練。

例三、已知函數y=ASin（ωx+φ），（A>0，ω>0）

若在同一周期內，當x= 時，y有最大值2，當x= 時，y有最小值-2，求這個函數解析式

通過這樣的練習，不但可以加深學生對“五點法”的本質和圖象變換規律的認識，而且可以提高學生分析問題的能力，為今后的進一步學習奠定堅實的基礎。

三、加強應用意識，努力提高學生的數學素質。

開展應用的教學，培養學生的應用意識，提高學生應用數學知識解決實際問題的能力，是實現應試教育向素質教育轉變的重要舉措同，而立足教材，聯系實際，則是開展教學數學實際應用教學的有效途徑。圍繞函數y=ASin（ωx+φ）現行教材中編寫了三道與物理學想互聯系的實際應用題，這三道題的安排可以說是匠心鐵獨運的。筆者在該教學內容上以這三道題為核心，組織了一堂數學應用的活動課，使學生充分認識到數學知識在其他學科及生產實際、科學技術等方面的廣泛應用，極大地提高了學生學習數學知識的積極性取得了較好的教學效果。

總之，在函數y=ASin（ωx+φ）的教學中我們應本著“立足教材，深化知識，提煉方法，培養能力，提高素質”的原則。精心挖掘教材的潛力，努力創設問題的背景，引導學生全方位，多角度地認識、深化，使用函數y=ASin（ωx+φ）的圖象和性質。充分發揮函數y=ASin（ωx+φ）的潛在教育功能，提高其教學價值，使我們的教學收到事半功倍的效果。