融入數學建模思想的常微分方程教學初探

阮妮

[摘 要]本文闡述了常微分方程的發展及與數學建模的關系特點，并以國民經濟增長模型為例子，就融入數學建模思想的常微分方程課程的課堂教學進行分析和探討。

[關鍵詞]常微分方程 數學建模 國民經濟增長模型

[中圖分類號] O175.1 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）08-0067-02

一、引言

常微分方程是綜合性大學數學系各專業的重要基礎課，也是應用性很強的一門數學課。它已有著300多年的悠久歷史，而且繼續保持著進一步發展的活力，其主要原因是它的根源深扎在各種實際問題之中，常微分方程的應用范圍不斷擴大并深入到機械、電訊、化工、生物、經濟和其他社會學科的各個領域。作為一門基礎課教程，該課程主要介紹常微分方程的一些常用解法和基本理論。這些內容將為數學、力學、物理和計算機系的大學生在后繼學習中服務。它們對于數學聯系實際和各種數學方法的靈活應用是不可缺少的基本訓練，這正是常微分方程課程的一個特色。常微分方程基本理論是該學科的精華所在，其基本理論的教學目的是讓學生去體會常微分方程的思想方法，領略數學思想的魅力。然而，很多理工科學生在學習的過程中不了解學這門課程有什么用途而存在偏重方程的解法計算，輕理論分析，死記硬背公式的傾向，以至于學生在運用常微分方程知識建立微分方程數學模型不能獲得解析解而無法分析解決實際問題，從而缺乏學習的動力和興趣，最后逐漸認為這是一門非常枯燥而沒用的學科。造成這種傾向的原因是多方面的，基本理論內容比較抽象，教師的課堂教學等都有一定的關系，鑒于此現狀，本文從融入數學建模思想這個角度來對常微分方程課程的課堂教學進行分析和探討。

二、常微分方程與數學建模的關系特點

（一）數學建模

進入20世紀以來，隨著數學向一切學科領域的滲透以及計算機應用技術的飛速發展，數學建模越來越受到人們的重視。通過對實際問題的分析抽象和簡化，明確實際問題中最重要的變量和參數，通過系統的變化規律或實驗觀測數據建立起這些變量和參數之間的量化關系，用精確或近似的數學方法求解，然后把數學結果與實際問題進行比較，用實際數據驗證模型的合理性，對模型進行修改和完善，最后將模型用于解決實際問題的過程，這就是數學建模。簡而言之，數學建模就是通過建立數學模型來解決各種實際問題的過程，體現了“用數學”的思想。

（二）常微分方程與數學建模相輔相成

在常微分方程的教學過程中，教師應該先了解學生的專業特點，由于教授這門課程所面向的是成人本科生，學生入學時的知識結構有多不同，因而產生了教學該如何設計的一個特殊性。那么，在授課中從學生的學習需求出發，讓學生初步了解微分方程的類型，及其相應的解法特點，有選擇性地引入簡化的條件特殊化的常微分方程數學模型，在學生熟練掌握特定類型的微分方程的解法后逐步完善數學模型，進而引導學生思考一般化更為復雜的微分方程的模型。下面我們用例子加以說明。

例：國民經濟的增長模型

國民收入的主要來源是生產。國民收入主要用于以下三個方面：消費資金、投入再生產的積累資金、公共設施的開支。下面將討論國民收入與這三者的關系，并建立相應的國民經濟的增長模型。

解：假設Y（t）是時刻的國民收入水平，也可用它表示生產水平；C（t）表示時刻消費水平；G表示用于公共設施的開支水平，這里把它看做是常數；I（t）是時刻用于投入再生產的投資水平。

根據實際情況可以看出國民的消費水平與國家生產水平成正比，比例系數為k，即C=Yk，k∈（0，I），稱k是消費系數，S=1-k稱為積累系數。對于t時刻國民這三方面總的需求水平表示為D（t），則有：D=kY+I+G （1）

通過以上對實際問題的模型建立、分析，很好地運用常微分方程的相應解法計算、討論，可以看出國民收入與消費資金、投入再生產的積累資金、公共設施的開支，這三者的關系特點，該模型為國家有關部門提供了國民經濟增長的一個預測模型，可以很好地制定相關的政策法規，從而有利于國家的發展，創造一個更為和諧的社會。

三、教學感悟

常微分方程中許多概念、性質、定理的形成過程本身就融入著數學建模的思想，我們在教學的過程中可以結合實際自然而然地引出課程內容。然而，數學建模思想的培養不是一蹴而就，是長期培養和鍛煉才能形成的。因此，首先，教師應樹立先進的教育理念，師生共同明確學習常微分方程這門課程的目的；其次，應從學生的專業特點、學習情況、接受情況出發，在課程教學中應注意啟發學生的思維，培養學生的創新能力；最后，教師在充分理解教材的基礎上，掌握課程特點，適當刪減理論性強，冗長繁瑣的證明過程，因材施教。此外，還應不斷創新教學方法，融入數學建模思想，適當增加一些建模實例，并講解其中的解題過程，讓枯燥難學的數學定理、公式變得簡單，生動有趣，這樣不僅不會增加學生的學習負擔，反而激發他們的學習興趣，使學生感到課本知識不是生搬硬套規定的，而是與實際生活密切相關的，讓學生真正體會到學以致用“生活中處處有數學”。本文只是個人的見解在此亦希望能得到各位同行的指導意見，完善本課程的教學。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 王高雄，周之銘，朱思銘等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2] 陳國華.數學建模與素質教育[J].數學的實踐與認識，2003，33（2）：110～113.

[3] 姜啟源，謝金星，葉俊.數學建模[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4] 東北師范大學微分方程教研室.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2005：50-59.

[5] 李娜等.MATLAB在高等數學教學中的應用研究[J].大學教育，2012，（11）：66-67.

[責任編輯：碧 瑤]