巧用變式教學，構建自覺數學課堂

周洪琪

“變式”既是一種重要的思想方法，又是一種重要的教學策略。在日常數學教學中，我們可以適當地引入“變式”，不斷地變更問題的情境或改變思維的角度，在保持事物的本質特征不變的情況下，使事物的非本質屬性不斷遷移和變化，讓學生從“變化中學會變化”，對引導學生主動參與學習，積極思考，掌握“四基”，發展“四能”，形成良好的情感態度和數學素養等具有積極的作用。數學變式通常可分為概念性變式和過程性變式，下面我結合日常教學和觀察，針對“變式教學”談談感悟。

一、通過概念性變式，加深對概念的多維理解

概念性變式包括概念變式和非概念變式兩類，其中“變”的是概念的非本質屬性，“不變”的是概念的本質屬性，目的是讓學生進一步體驗概念形成的過程，經過抽象、概括、具體化，經歷多維理解，使獲得的概念更準確、穩定。

1.概念變式。其主要作用是通過概念外延的變化，使學生獲得對概念的多角度理解。一個數學概念，不止一個本質屬性，還有更多的非本質屬性。如果學生能夠從不同的角度理解概念，那么，其思維則顯得非常活躍，并容易形成解題方法；反之，則思維遲鈍，很難發現新問題的解法，或方法機械呆板。

【案例】在講了“絕對值”（蘇科版七年級上冊第二章）的概念后，為了加深學生對絕對值概念的理解，我提供了如下變式題。

例題：判斷下列語句是否正確？

（1）5的絕對值是5（ ）

（2） -5的絕對值是-5（ ）

（3）絕對值是5的數是5或-5（ ）

（4）一個數的絕對值不會是負數（ ）

啟示：通過一系列的變式題，提供給學生從多個側面、多個角度理解概念的機會，加深學生對“絕對值”的幾何意義和代數意義的本質理解，提高學習實效。

2.非概念變式。概念教學的本質是使學生理解哪些是事物的本質特征，哪些是非本質特征，形成科學的概念認知。非概念變式即通過改變一些能混淆的概念的外延屬性——舉反例，使學生廓清概念的內涵和外延。

【案例】蘇科版實驗教科書九年級上冊第五章中圓周角的概念是學生比較容易混淆的，教學時通過適當的非概念變式進行辨析（如下圖），能使學生較輕松地掌握這一概念。

啟示：這里，針對圓周角這一概念的內涵與外延設計了一組辨析型問題。學生通過對這些問題的討論和解決，能夠明確圓周角概念的本質，深化對圓周角的理解。因此，在概念形成后，不應急于讓學生應用概念解決問題，而應引導學生對概念作進一步探討，通過辨析變式和等價深化變式，使學生對概念有更深刻的理解，讓學生既知其然，又知其所以然。

二、借助過程性變式，讓學生獲得多層次的數學活動經驗

過程性變式和概念性變式有著本質的區別，前者的目的是提供逐步形成概念的過程，后者是為了從多種角度理解某一概念。在過程變式中，最具代表性的是表面特征變化的水平變式和結構變化的垂直變式。

1.水平變式。基本特征是：通常變更問題的背景（或圖形的形狀），在同一思維平臺上解決一些同類問題，加深學生對解題策略的認知，積累經驗。

【案例】蘇科版七年級上冊《§4.3用一元一次方程解決問題》教學片段

原問題：某商店今年銷售A、B、C三種型號的電視機共340臺，它們的銷售數量之比是3﹕6﹕8，請問這三種型號的電視機各銷售了多少臺？

變式1：某商店今年銷售A、B、C三種型號的電視機共340臺，A型與B型的銷量之比是1﹕2，B型與C型的銷售量之比是3﹕4，請問這三種型號的電視機各銷售了多少臺？

變式2：某商店今年銷售A、B、C三種型號的電視機共340臺，其中B型的銷量是A型的2倍，C型是B型的，請問這三種型號的電視機各銷售了多少臺？

變式3：某商店今年銷售A、B、C三種型號的電視機共340臺，A型與B型的銷量之比是1﹕2，C型銷售量是A、B兩種型號銷量之和的，請問這三種型號的電視機各銷售了多少臺？

變式4：某單位準備組織員工（含退休職工）參觀在常州武進舉辦的第八屆中國花卉博覽會，根據該單位工作安排的需要，共購買了老年（60～69周歲老人）團隊票、指定日普通票和平日普通票340張，其中老年團隊票數是平日普通票數的，指定日普通票比老年團隊票與平日普通票的和少100張，請問這三種票該單位各買了多少張？

啟示：以上四個變式問題，是在原問題的某些條件不變的情況下，改變了另一些條件的給出方式，但解決問題的策略是相同的，思維上層次遞進的趨勢，但思維量是基本相當的（答案也都一樣，分別為60，120和160）。其中變式4同時還更換了富有現實意義的背景（第八屆花博會在學生家鄉地舉行），不僅激發了學生的學習興趣，而且讓學生獲得了多題可以一解的感悟，更深化了學生對數學建模和解決問題的策略的深度認知，這樣的“水平變式”極大地提高了學生的應變能力和思維的靈活性。

2.垂直變式。數學結構變化的垂直變式實際上是以“突破源問題”來體現的，即將源問題升華，其反映的是涉及問題本質的概念、關系與原則等“深層”特征。通過垂直變式，把原來的程序知識轉化為策略知識，由表層學習向結構學習轉化，逐步增加輸出深層結構的學習結果，逐步增加對數學本質和深層次數學價值的體會，逐步增加由起點（例題）到終點（垂直變式問題）深層次的學習經歷，使學生理解數學問題的本質關系。

【案例】問題：如圖3，已知點P為線段AB、線段CD之間的一點，且AB∥CD，你能猜想出∠A、∠P（小于平角的角）和∠C之間的數量關系嗎？并說明你的理由。

圖3 圖4

變式1：如圖4，已知點P、Q、R為線段AB、線段CD之間的點，且AB∥CD，你能仿照例題的研究方法，猜想出∠A、∠P、∠Q、∠R和∠C之間的數量關系嗎？并說明你的理由。

變式2：如圖5，已知點P為線段AB外且異于線段CD一側的一點，且AB∥CD，你能仿照例題的研究方法，猜想出∠A、∠P和∠C之間的數量關系嗎？并說明你的理由。

變式3：如圖6，已知直線AB∥CD，點E和點F分別在直線AB和直線CD上，點P是該平面內異于點E和點F的任意一點，試探求∠AEP、∠EPF、∠PFC之間的數量關系。只要求寫出關系式，不要說明理由。

圖5 圖6

啟示：給出原問題后，學生的思維是開闊的，策略是多樣的，有的延長AP交CD于一點，利用兩直線平行，內錯角相等和三角形外角知識解決的（如圖7）；有的過點P作AB的平行線（如圖8和圖9），隨著對變式1的探究，學生自覺地體悟到用圖9中類似的輔助線作法處理這里的變式問題是比較合適的。其中，變式3的思維量較大，是整個探究的制高點，根據“點P是該平面內異于點E和點F的任意一點”，要求對點P的位置進行分類討論，即點P在直線AB的上方、在直線AB上、在直線AB和直線CD之間、在直線CD上和直線CD的下方，同時還要考慮點E、F、P三點是否共線及點P是位于直線EF的左側還是右側的問題，最后探究共可得13種符合題意的情形。這里，借助三個垂直變式，將學生的思維水平向高層次引領，促進學生對知識的深度理解，即最大限度地提高學生的數學素養，開闊學生的知識視野，讓學生在探究知識的過程中發展創造意識和實踐能力。

圖7 圖8 圖9

變式教學將數學知識串成一條線，使得整個教學過程逐漸增加學生的認知負荷，逐步提高學生的數學能力。當然，在應用變式組織教學時，還必須考慮到適度、梯度和廣度的問題，讓“變式教學”最大限度地為教與學服務。

注釋：

①孫旭花，黃毅英，林智中，張奠宙.問題變式：結構與功能的統一.課程·教材·教法，2006（5）.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]潘建明.解讀自覺數學課堂[M].南京：江蘇教育出版社，2012.