對復合函數單調性的探討

付懷軍

考查復合函數f=f（g（x））的單調性.

設單調函數y=f（x）為外層函數，y=g（x）為內層函數，

（1）若y=f（x）增，y=g（x）增，則y=f（g（x））增.

（2）若y=f（x）增，y=g（x）減，則y=f（g（x））減.

（3）若y=f（x）減，y=g（x）減，則y=f（g（x））增.

（4）若y=f（x）減，y=g（x）增，則y=f（g（x））減.

結論：同增異減.

例1.求函數f（x）=2的單調區間.

解析：首先找出外層函數和內層函數，然后進一步求此函數的單調區間.此題中定義域是一切實數.

解題過程：

外層函數：y=2

內層函數：t=x+x-2

內層函數的單調增區間：x∈[-，+∞）

內層函數的單調減區間：x∈（-∞，-]

由于外層函數為增函數

因此復合函數的增區間為：x∈[-，+∞）

復合函數的減區間為：x∈（-∞，-]

評注：在本例題的解題過程中，首先要求出內層函數的單調區間，因為在復合函數的單調性的問題中很多基礎薄弱的同學在此處會出現思維混亂，并且這樣可以避免接下來涉及定義域而學生又容易忽略的情況.

例2.求函數f（x）=log（x+x-2）的單調區間.

解析：此題首先求定義域，這是解決本題的關鍵.

解題過程：

外層函數：y=logt

內層函數：t=x+x-2

t=x+x-2>0

由圖知：

內層函數的單調增區間：x∈[1，+∞）

內層函數的單調減區間：x∈（-∞，-2]

由于外層函數為增函數

因此復合函數的增區間為：x∈[1，+∞）

復合函數的減區間為：x∈（-∞，-2]

例3.求函數y=的單調區間

解題過程：

外層函數：y=

內層函數：t=cosx

t=cosx≥0

由圖知：

內層函數的單調增區間：x∈[-+2kπ，2kπ]

內層函數的單調減區間：x∈[2kπ，+2kπ]

由于外層函數為增函數

因此復合函數的增區間為：x∈[-+2kπ，2kπ]

復合函數的減區間為：x∈[2kπ，+2kπ]

通過以上三個例題的解題過程，得出求復合函數單調區間的步驟：

1.找出外層函數和內層函數；

2.根據定義域確定內層函數的單調區間；

3.根據外層函數確定復合函數的單調區間.