高等數(shù)學(xué)中極限思想的應(yīng)用

夏立標(biāo)

摘 要： 本文通過(guò)系統(tǒng)闡述極限理論在數(shù)學(xué)理論發(fā)展中的重要作用，說(shuō)明了在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)極限思想教學(xué)的必要性.

關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué) 極限 極限思想

極限是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常重要的概念，極限思想貫穿于高等數(shù)學(xué)的各個(gè)部分.因此，理解極限概念所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)掌握高等數(shù)學(xué)中的其他概念有很大的幫助.

縱觀數(shù)學(xué)的發(fā)展史，當(dāng)初牛頓、萊布尼茲在創(chuàng)立微積分時(shí)取得了極其重要的創(chuàng)造性的成果，但由于缺乏清晰嚴(yán)格的“極限”和“無(wú)窮小”的概念，未能把微積分建牢固的基礎(chǔ)上.之后數(shù)學(xué)界展開(kāi)了一場(chǎng)長(zhǎng)達(dá)十多年的關(guān)于微積分奠基問(wèn)題的大論戰(zhàn).通過(guò)這場(chǎng)論戰(zhàn)，大批數(shù)學(xué)家對(duì)微積分基礎(chǔ)概念做了深入探討，促進(jìn)了微積分理論基礎(chǔ)的建設(shè).正是由于極限理論的完善，微積分才取得最后的勝利.而微積分的主要理論基礎(chǔ)是極限論，高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)、積分、級(jí)數(shù)、斂散、甚至數(shù)學(xué)中最基本的實(shí)數(shù)概念都要以極限概念為基礎(chǔ)來(lái)建立.理解了極限的思想方法，掌握了極限的基本運(yùn)用，以及有關(guān)它的一些重要性質(zhì)，有助于學(xué)生理解其他數(shù)學(xué)概念，把握不同數(shù)學(xué)概念之間的本質(zhì)聯(lián)系.下面我就高等數(shù)學(xué)中的幾個(gè)重要概念所蘊(yùn)涵的極限思想作分析，以供教學(xué)參考.

一、導(dǎo)數(shù)的概念

導(dǎo)數(shù)概念不是數(shù)學(xué)家憑空想象出來(lái)的，而是從解決客觀實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中概括抽象出來(lái)的.要了解導(dǎo)數(shù)概念所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，我們還是通過(guò)導(dǎo)數(shù)概念的引入來(lái)探討.

幾乎所有高等數(shù)學(xué)教材關(guān)于導(dǎo)數(shù)概念的引入都是通過(guò)求物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度和曲線的切線斜率.兩個(gè)例子，雖然意義不同，但分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法則是相同的，取得結(jié)論的方式也是一致的.它們都是刻畫(huà)一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的變化快慢速度，也就是因變量對(duì)自變量的變化速度.舍棄這些例子各自的意義，抽出其共同的數(shù)學(xué)本質(zhì)，即得到導(dǎo)數(shù)的概念：

稱該級(jí)數(shù)收斂，S是該級(jí)數(shù)的和.若該級(jí)數(shù)的部分?jǐn)?shù)列發(fā)散，則稱該級(jí)數(shù)發(fā)散，此時(shí)該級(jí)數(shù)沒(méi)有和.級(jí)數(shù)收斂的概念真正解決了無(wú)限小數(shù)是一個(gè)數(shù)理論問(wèn)題.隨著絕對(duì)收斂概念的建立，無(wú)限和運(yùn)算結(jié)合律、交換律、分配率的成立范圍在理論上才得以明確.同樣借助極限，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂概念建立后，函數(shù)級(jí)數(shù)每項(xiàng)具有的分析性質(zhì)，即連續(xù)性、可積性、可微性與其和函數(shù)間才建立了必然聯(lián)系，無(wú)限和運(yùn)算分別與極限運(yùn)算、定積分運(yùn)算、求導(dǎo)運(yùn)算交換次序成為可能.

以上僅借助于導(dǎo)數(shù)的概念、定積分的概念和級(jí)數(shù)斂散性定義說(shuō)明在高等數(shù)學(xué)中極限思想的應(yīng)用.事實(shí)上，其他類型的極限概念可以通過(guò)類似法進(jìn)行處理.在教學(xué)過(guò)程中，再輔以恰當(dāng)?shù)膶?shí)例，使學(xué)生清楚、牢固地掌握極限概念、性質(zhì)，以及相應(yīng)的極限思想和方法.

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