帶電粒子在有界磁場中運動的一類臨界問題

商廣宇

解決此類問題的關鍵是找準臨界點，審題應抓住題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”“剛好”等詞語作為突破口，挖掘隱含條件，分析可能的情況，如有必要則畫出幾個不同半徑相應的軌跡圖，從而分析出臨界條件。尋找臨界點有兩種有效方法：

1.軌跡圓的縮放：當粒子的入射方向不變而速度大小可以變時，粒子做圓周運動的軌跡圓心一定在入射點所受洛倫茲力所表示的射線上，但位置不確定，用圓規作出一系列大小不同的軌跡圓，從圓的動態變化中即可發現“臨界點”。

2.軌跡圓的旋轉：當粒子的速度大小確定而方向不確定時，所有不同方向入射的粒子的軌跡圓是一樣大的，只是位置繞入射點發生了旋轉，從定圓的動態旋轉中也容易發現“臨界點”。

例1：一足夠長的矩形區域abcd內充滿磁感應強度為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場，矩形區域的左邊界ad長為L，現從ad中點O垂直磁場射入一速度方向與ad邊夾角為30°，大小為v0的帶正電粒子（如圖所示），已知粒子電荷量為q，質量為m（重力不計）。

（1）若要求粒子能從ab邊射出磁場，v0應滿足什么條件？

（2）若要求粒子在磁場中運動的時間最長，粒子應從哪一邊界處射出，出射點位于該邊界上何處？最長時間是多少？

解析：

（1）粒子從ab邊射出的兩邊界軌跡如圖線Ⅰ與Ⅱ，

對圖線Ⅰ，由幾何關系知R+Rsin30°=L/2

得R=L/3

又qvB=m

得v=

對圖線Ⅱ，由幾何關系知R=Rsin30°+L/2

得R=L

又qvB=m

得v=

故粒子從ab邊射出

（2）若要求粒子在磁場中運動的時間最長，粒子應ad邊射出，由幾何關系知，出射點離O點的距離d=R=v=且R≤L/3.

時間t=T=

例2：如圖，真空室內存在勻強磁場，磁場方向垂直于圖中紙面向里，磁感應強度的大小B=0.60T，磁場內有一塊平面感光板ab，板面與磁場方向平行，在距ab的距離l=16cm處，有一個點狀的α放射源S，它向各個方向發射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×10m/s，已知α粒子的電荷與質量之比=5.0×10C/kg，現只考慮在圖紙平面中運動的α粒子，求ab上被α粒子打中的區域的長度。

解析：α粒子帶正電，故在磁場中沿逆時針方向做勻速圓周運動，用R表示軌道半徑，有

qvB=m

由此得R=

代入數值得R=10cm，可見2R>l>R

因朝不同方向發射的α粒子的圓軌道都過S，由此可知，某一圓軌跡在圖中N左側與ab相切，則此切點P就是α粒子能打中的左側最遠點。為確定P點的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距離為R，以S為圓心，R為半徑，作弧交cd于Q點，過Q點作ab的垂線，它與ab的交點即為P，由圖中幾何關系得

NP=

再考慮N的右側，任何α粒子在運動過程中離S的距離不可能超過2R，以2R為半徑，S為圓心作圓，交于N右側的P2點，此即右側能打到的最遠點。

由圖中幾何關系得NP=

所求長度為PP=NP+NP

代入數值PP=20cm