巧妙求解抽象函數定義域

周學慧

摘 要 求抽象函數的定義域問題的求解方法利用口訣為：“定義域不變，法則的作用范圍也不變。”進行求解。關鍵是要找到法則的作用范圍。

關鍵詞 抽象函數 定義域 法則 作用范圍 復合函數 取值范圍。

求抽象函數的定義域是高一學生接觸到函數以后遇到的比較頭痛的問題，函數對于剛剛接觸這部分知識的學生來說就很抽象，而抽象函數沒有給出函數的具體解析式，正是因為抽象函數表現形式的抽象性讓學生們感到很迷惑，使同學們在解決此類問題時感覺無從下手。而求抽象函數定義域在高考中一般以選擇.填空的形式出現，不能忽視。因此，我在解決此類問題時總結了一句口訣，用口訣讓學生們進行記憶既簡單又加深了學生們的理解。

口訣為：“定義域不變，法則的作用范圍也不變。”

一、已知f（x）的定義域，求f[g（x）]的定義域

例1 已知函數f（x）的定義域為[-2，1]，求函數f（x+1）的定義域。

在解決這道題時我利用口訣“定義域不變，法則的作用范圍不變。”分析如下：對于函數f（x），法則f只對x發生作用，x的取值范圍就是法則f的作用范圍，即法則f的作用范圍在[-2，1]。從函數f（x） 到f（x+1），法則沒有發生改變，因此法則的作用范圍仍然在[-2，1]，而在函數f（x+1）中，法則是對x+1發生了作用， x+1在法則f的作用范圍內，所以對于函數f（x+1），有-2≤x+1≤1。最后求函數f（x+1）的定義域，只需將這里的x范圍求出即可。因此，本題函數f（x+1）的定義域為[-3，0]。

【點評】此類問題的解題關鍵就是求出法則的作用范圍。再根據口訣“定義域不變，法則的作用范圍不變。”求解。

二、已知f[g（x）]的定義域，求f（x）的定義域

例2 已知函數f（x+1）的定義域為[-2，1]，求函數f（x）的定義域。

分析：先從求法則的作用范圍入手作為解題突破口，對于函數f（x+1），法則f對x+1發生作用，x+1的范圍就是法則的作用范圍。因為定義域為[-2，1]，對于函數f（x+1），有-2≤x≤1，所以-1≤x+1≤2，因此得出法則f的作用范圍在[-1，2]。從函數f（x+1）到f（x），法則沒有改變，所以作用范圍也不變，仍然在[-1，2]，而對于函數f（x），法則是對x發生作用，所以x也應該在法則的作用范圍內，因此-1≤x≤2。本題函數f（x）的定義域為[-1，2]。

三、已知f[g（x）] 的定義域，求f[h（x）] 的定義域

例3 已知函數f（x-1）的定義域為[-2，1]，求函數f（x+1）的定義域

分析：求出法則f的作用范圍，本題就得以解決。對于函數f（x-1），法則f對x-1發生作用，x-1的范圍就是法則的作用范圍。因為定義域為[-2，1]，對于函數f（x-1），有-2≤x≤1，所以-3≤x-1≤0，因此得出法則f的作用范圍在[-3，0]。從函數f（x-1）到f（x+1），法則沒有改變，所以作用范圍也不變，仍然在[-3，0]，而對于函數f（x+1），法則是對x+1發生作用，所以x+1在法則的作用范圍內，即-3≤x+1≤0，因此，-4≤x≤-1，本題函數f（x+1）的定義域為[-4，-1]。

【點評】 解決第三類題型無需通過求函數f（x）作為求解橋梁，也可以把函數f（x+1）的定義域求出，關鍵就是求出法則的作用范圍，再通過口訣“定義域不變，法則的作用范圍也不變。”求解完成。

練習：

1、已知函數f（）的定義域為[0，3]，求函數f（x）的定義域及函數f（x-1）的定義域

2、已知函數f（）的定義域為[1，2]，求函數f（x）的定義域及函數f（2x）的定義域。

3、已知函數f（x+1）的定義域為[-1，2]，求函數f（）的定義域及函數f（x+1）的定義域

4、已知函數f（x）的定義域為[-3，5]，求g（x）= f（-x）+f（）的定義域。

答案：（ 1 ） [1，2] [ 2，3]

（ 2 ） [1，4] [0.5，2]

（ 3 ） [-] [-1，4]

（ 4 ） [-]

【說明】 對于練習題4，求有限個抽象函數四則運算得到的函數的定義域，先求出每個函數的定義域，再求它們的交集。

下面是歷年各省市高考模擬題中出現的此類題目：

1、（山東省萊蕪五中2013屆高三4月模擬數學（理）試題）

已知函數f（x）的定義域為[3，6]，則函數y=的定義域為 （ ）

A、[，+∞） B、[，2） C、[，+∞） D、[，2）

【答案】B

2、【北京市通州區2013屆高三上學期期末理】奇函數f（x）的定義域為[2，2]，若f（x）在[0，2]上單調遞減，且f（1+m）+f（m）<0，則實數m的取值范圍是 .

【答案】 [-0.5，1]

3、【云南省玉溪一中2013屆高三第三次月考】定義R在上的函數f（x）滿足f（-x）=-f（x），f（x-2）=f（x+2），且x∈（-1，0）時，f（x）=2x+，則f（log220 ）=（ ）

A、1 B、 C、-1 D、-

【答案】C

4、（2013屆北京市延慶縣一模數學文）：A是由定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數%o（x）組成的集合：（1）對任意x∈[1，2]，都有%o（2x）∈[1，2]；（2）存在常數L（0

（作者單位：貴州省六盤水市第三中學）