《用定積分計算平面圖形的面積》的教與學

鄭愛武

[摘 要]《用定積分計算平面圖形的面積》是一元微積分的重要內容，本文對這一內容的“教和學”進行了詳細的分解，進而通過講練結合，使學生能熟練應用定積分計算各種平面圖形的面積。

[關鍵詞]定積分 曲邊梯形 平面圖形 積分變量

[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）07-0041-02

一、教材的研究

（一）指導思想

“注重實踐，加強運用，培養能力”。

（二）教材分析

本次課的內容，選自21世紀高職高專規劃教材《高等數學》第五章第四節，運用定積分計算平面圖形的面積。這是定積分在幾何上的一個應用，在定積分這一章中處于比較重要的地位。

（三）教學目標

1.知識目標：熟練應用定積分計算平面圖形的面積；

2.能力目標：通過講練結合，培養學生運用數學知識解決具體問題的能力；

3.思想目標：通過學用結合，培養學生理論聯系實際、求實求真的精神，激發學生的求知欲、用知欲。

（四）教學重點、難點、關鍵

1.教學重點是：用x為積分變量的定積分計算平面圖形的面積。

2.教學難點是：用y為積分變量的定積分計算平面圖形的面積。

3.教學關鍵是：正確選擇積分變量，寫出所求面積的積分表達式。

二、教法和學法的研究

本次課主要采用講、練結合的方法，兼顧使用觀察 、啟發、分析等多種教學方法，讓學生深刻理解并掌握本次課的內容，體現老師的主導性。同時，在教學中讓學生多想多練，在練習中體會定積分求面積的要領，提高用定積分計算面積的熟練程度，發揮學生的主體作用。

三、教學過程

引入新課： 首先，引導學生回憶定積分概念的來源，結合定積分的幾何意義，引入新課“用定積分計算平面圖形的面積”。

新課分三部分講授：

第一部分，講解底邊在x軸上的曲邊梯形面積的計算方法。根據定積分的幾何意義，引導學生分析曲邊梯形分別位于x軸上方、下方時其面積與定積分的關系，總結出以x為積分變量的曲邊梯形面積的計算公式。

由曲線、直線及x軸所圍成的曲邊梯形為平面圖形的基本圖形，根據定積分的幾何意義：

第二部分，講解底邊在y軸上的曲邊梯形面積的計算方法。學生習慣以x為積分變量的定積分計算問題，而以y為積分變量的類型，在心理上，視覺上開始會不習慣，不太適應，有一定難度。為了突破這個難點，我引導學生回憶用“分割—近似—求和—取極限”的方法求曲邊梯形面積的過程，并提問學生：“如果曲邊梯形的底邊在y軸上，其面積值如何求？對應的積分表達式如何書寫？”難點在學生思考回答老師問題的過程中迎刃而解，不攻自破。同學們很自然就能總結出以y為積分變量的曲邊梯形面積的計算公式。

第三部分，講解非曲邊梯形面積的計算方法。所謂非曲邊梯形，就是由幾條已知曲線所圍成的平面幾何圖形。這類圖形可以處理成以x軸為底邊的幾個曲邊梯形面積的代數和，也可以處理成以y軸為底邊的幾個曲邊梯形面積的代數和。

四、例題講解

評講：從這個例題可以看到，用定積分計算曲邊梯形的面積與單純的定積分運算是兩個不同的問題，不能混為一談。通過這個例題，要加深學生對定積分計算曲邊梯形的面積的印象，并使學生了解到數學知識在實際中的應用與單純的數學知識運算并不是一回事，不能相提并論，等同視之。

[例2]求由曲線y=x2及直線y=x所圍成的平面圖形的面積。

[例3]求拋物線y2=2x與直線y=x-4所圍成平面圖形的面積。

解：先求出曲線與直線的交點，即解方程組：

再畫出圖形。如圖5-16所示：

此題是將樹葉的面積計算問題轉化為定積分的計算問題，使學生解了利用定積分解決實際問題的特點，培養了學生將實際問題轉化為數學問題的能力。

講完例題之后，要求學生根據所講內容和例題，分析總結定積分計算平面面積的特點，在學生自己歸納總結的基礎上小結定積分計算平面面積的步驟：

（1）要畫出圖形，求出曲線的交點；

（2）選擇積分變量，確定積分區間；

（3）寫出面積公式求出平面圖形的面積。

[責任編輯：林志恒]