談中學(xué)數(shù)學(xué)中的對稱之美

吳建東

摘 要： 對稱是中學(xué)數(shù)學(xué)很多知識(shí)點(diǎn)的一個(gè)通性，從一個(gè)側(cè)面體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美感.數(shù)字及代數(shù)、多項(xiàng)式、簡單及復(fù)雜幾何形體等都展示了數(shù)學(xué)中的對稱之美.本文通過對這些知識(shí)點(diǎn)中的對稱進(jìn)行闡述，發(fā)覺其中的自然與人文之美，引導(dǎo)廣大中學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，逐步發(fā)展數(shù)學(xué)思維.

關(guān)鍵詞： 中學(xué)數(shù)學(xué) 對稱之美 數(shù)字多項(xiàng)式 幾何形體

對稱，物體或圖形在某種變換條件（例如繞直線的旋轉(zhuǎn)，對于平面的反映，等等）下，其相同部分間有規(guī)律重復(fù)的現(xiàn)象，亦即在一定變換條件下的不變現(xiàn)象.自然界是簡約與對稱的這種大美令人匪夷所思.山川、河流、樹木等，在嚴(yán)格意義上來講都是不對稱的，然而，將研究對象擴(kuò)大到整個(gè)地球、星系、宇宙，抑或縮小至晶體、分子、原子，世界又都是對稱的.可以這么說，在與我們生活大致相同的尺度內(nèi)，不對稱屬于自然界，而對稱屬于人類，是一種創(chuàng)造出來的人文之美.這些人文之美在初中的知識(shí)中有很多的體現(xiàn).

1.數(shù)字的對稱

數(shù)學(xué)本身是大自然的，然而數(shù)字是人類發(fā)明的，并且人類用自己發(fā)明的數(shù)字來發(fā)現(xiàn)并且解釋大自然的數(shù)學(xué).數(shù)字從自然數(shù)開始，最開始是人類用于簡單計(jì)數(shù).隨著社會(huì)的發(fā)展，人們發(fā)明了負(fù)數(shù).于是第一對數(shù)字的對稱出現(xiàn)了：正數(shù)與負(fù)數(shù)的對稱.負(fù)數(shù)并不是自然存在的，而是人們發(fā)明的一個(gè)概念.正數(shù)與負(fù)數(shù)以零點(diǎn)為對稱點(diǎn)，每寫出一個(gè)正數(shù)，都有一個(gè)相應(yīng)的負(fù)數(shù)與之對應(yīng)，其轉(zhuǎn)化方法僅僅是在這個(gè)正數(shù)前面加一個(gè)負(fù)號(hào)“-”而已.

當(dāng)純數(shù)字也無法滿足人們的計(jì)算要求時(shí)，代數(shù)被人類發(fā)明了出來.作為數(shù)字的延伸，數(shù)字的對稱性在代數(shù)上保留了下來.無論字母a，b，c代表怎樣的數(shù)，它們的正負(fù)性及關(guān)于正負(fù)的對稱性總是存在的.

當(dāng)函數(shù)的概念被提出來之后，對稱性問題成為函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì).二次函數(shù)關(guān)于對稱軸的左右對稱，三角函數(shù)關(guān)于對稱軸和對稱中心的軸對稱和中心對稱，這些都成了解決很多問題的關(guān)鍵.函數(shù)是方程的延伸，方程是數(shù)字運(yùn)算的延伸，函數(shù)的對稱性是數(shù)字對稱的一個(gè)典型例證.

例1：函數(shù)y=3sin（2x+π/6）的圖像的對稱軸方程為？搖？搖？搖？搖？搖？搖.

解：2x+π/6=2（x+π/12），設(shè)x+π/12=a，則方程變?yōu)閥=3sin2a

方程y=3sin2a的對稱軸為aπ/4+kπ/2，即x+π/12=π/4+kπ/2，解之，得對稱軸為x=π/6+kπ/2，k∈Z.所以答案為x=π/6+kπ/2，k∈Z.

2.多項(xiàng)式對稱

多項(xiàng)式及多項(xiàng)式的因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，在眾多的多項(xiàng)式中，有一類多項(xiàng)式，如果將其任意的兩個(gè)字母進(jìn)行互換，則所得到的多項(xiàng)式不變，這類多項(xiàng)式被稱為對稱多項(xiàng)式，簡稱對稱式.對稱式的一個(gè)重要本質(zhì)就是各個(gè)字母在多項(xiàng)式中的地位相等，例如xyz，a+b+c等，構(gòu)成了一大類問題，通過對稱式的性質(zhì)可以輕松巧妙地解決這些問題.

例2：已知0

分析：此例題中的字母x，y，z在多項(xiàng)式xyz（1-x）（1-y）（1-z）中的地位完全一樣，并且取值范圍完全相同，即x，y，z在此構(gòu)成了對稱式.不等式后面正好是1/4的三次方.通過觀察，結(jié)合對稱式的性質(zhì)，可以將問題轉(zhuǎn)化為證明x（1-x）≤1/4或者y（1-y）≤1/4或者z（1-z）≤1/4，即將問題簡化為只需證明其中一個(gè)簡單式子成立即可.

證明：因?yàn)?0.所以（ - ）2≥0，2 ≤x+1-x=1，x（1-x）≤1/4.

同理y（1-y）≤1/4，z（1-z）≤1/4同時(shí)成立，所以xyz（1-x）（1-y）（1-z）≤（1/4）3成立.

3.幾何形體的對稱

幾何形體的對稱以其直觀并且美觀的樣式呈現(xiàn)在人們的眼前，也是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)中，展現(xiàn)對稱性最直接、數(shù)量最大的方面.線對稱、點(diǎn)對稱，人們用自己的審美搭建了完整的幾何體系.幾何形體的對稱性歷來是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，線段的平分問題，角平分線的尺規(guī)作圖問題都是幾何學(xué)入門的基礎(chǔ).等邊三角形、等腰梯形、矩形、正多邊形、圓形、菱形，以及高中階段要學(xué)到的圓錐曲線等，其中都有對稱性的具體表現(xiàn).軸對稱和點(diǎn)對稱不僅賦予了它們美觀，而且使它們具有了一些特殊的性質(zhì)，也正是這些特殊的性質(zhì)為中學(xué)生對幾何的學(xué)習(xí)增添了不少樂趣.

例3（數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題目）：如圖所示，在△ABC中，AB>AC，BE、CF分別為△ABC的兩條高線，求證：AB+CF>AC+BE.

分析：由三角形的高線可以想到利用三角形的面積和相似三角形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行分析，這是第一種思路.

另外，觀察題目可知，這里的△ABC并不是傳統(tǒng)意義上的等腰三角形或者等邊三角形，這時(shí)可以考慮自己構(gòu)造一個(gè)對稱的等腰三角形.AB>AC，由大邊對大角定理，可得∠C>∠B.如果將∠A的平分線作出，可以輕松地作出一個(gè)等腰三角形，利用其對稱性可以進(jìn)行證明.

方法一：由題意，由于BE、CF為△ABC的兩條高線，因此△ACF∽△ABE，由于AB>AC，因此AE>AF，因此AE >AF .（AB+CF） =AB +CF +2AB·CF，（AC+BE） =AC +BE +2AC·BE，由于三角形面積S△ABC=AB·CF=AC·BE.根據(jù)勾股定理：AB =AE +BE 且AC =CF +AF ，因此AE =AB BE >AF =AC -CF ，因此AB +CF >AC +BE ，因此（AB+CF） >（AC+BE） ，因此AB+CF>AC+BE成立.

方法二：作∠A的角平分線l，由于AB>AC，可在AB上找出點(diǎn)C關(guān)于l的軸對稱點(diǎn)C′，則AC=AC′，因此AB-AC=AB-AC′=BC′.過C′作AC的垂線與AC交于F′，作BE的垂線與BE交于點(diǎn)D，由于△ACC′的對稱性，得C′F′=CF，即DE=CF，則BE-CF=BE-DE=BD，顯然BC′>BD，因此AB-AC>BE-CF，因此AB+CF>AC+BE成立.

點(diǎn)評(píng)：對于幾何形體對稱性的構(gòu)造和運(yùn)用使得本題目的解法變得異常簡單，體現(xiàn)了創(chuàng)新精神.

中學(xué)數(shù)學(xué)中的對稱代表了一類問題，熟練掌握這部分知識(shí)，對于中學(xué)生解題思路的開闊和創(chuàng)新將起到很大的幫助作用.

參考文獻(xiàn)：

[1]譚煒東.初中數(shù)學(xué)對稱性解題方法的探討.解題策略，2012，3.

[2]胡承鈞.代數(shù)學(xué)中對稱多項(xiàng)式的證明.宜賓學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，6.