數學方法在生物學習中的體現和應用

張有兵

生命科學是自然科學中的一個重要的分支，在高中生物課程中，它要求具備理科的思維方式。因此在學習中，應注重理科思維的養成、理科意識的樹立。數學是自然科學的基礎學科，是其他自然科學研究必不可少的工具。在高中生物學習中，有不少問題需要用數學方法來理解和處理，滲透著數學建模思想。新課標人教版生物教材與舊教材相比，更加重視用數學方法來解決比較抽象的生物學問題，較好地體現了新課標加強學科間橫向聯系的精神。

一、生物新教材中數學方法的體現

1.新教材重視用數字、圖表等數學語言來描述生物學事實、原理等知識

例如：孟德爾的遺傳定律中配子及子代基因型和表現型的種類、比例；種群基因頻率和基因型頻率的計算；用樣方法調查植物的種群密度；探究培養液中酵母菌種群數量的變化：土壤中小動物類群豐富度的研究；細胞中元素和化合物含量的圖、表；動物細胞內外不同離子的相對濃度柱形圖等；溫度和pH對酶活性的影響曲線。這些數字、圖表等能使抽象的內容直觀化，使知識簡約化、生動化。

2.新教材還指導或引導用數字說話、建構數學模型、用曲線表示動態變化過程等

數學是一門工具學科，在高中的物理與化學學科中廣泛的應用。由于高中生物學科以描述性的語言為主，同學們不善于運用數學工具來解決生物學上的一些問題。這就需要在平時的課堂學習中予以提煉總結，并進行數學建模。所謂數學建模（Mathematical Mod-elling），就是把現實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型所提供的解答來解決現實問題，我們把數學知識的這一應用過程稱為數學建模。在生物學科學習中，構建數學模型，對理科思維培養也起到一定的作用。

例如，遺傳密碼子的破解就涉及數學中的排列組合知識。教材提出以下問題：一個氨基酸的編碼至少需要多少個堿基才足以組合出構成蛋白質的20種氨基酸？引導學生思考討論。再如“種群數量的變化”一節，教材“問題探討”部分引導學生計算歸納細菌數量的計算公式，然后向學生介紹建構種群增長模型的方法，再引導學生建構“J”型增長的數學表格和數學曲線兩種數學模型。

此外，教材中多處引導用數學方法研究生物學問題。例如：“ATP的主要來源——細胞呼吸”要求計算有氧呼吸的能量轉換效率以及ATP的生成量：“細胞的能量通貨——ATP”思考與討論題要求計算比較一分子葡萄糖和一分子ATP所含能量；“生命活動的承擔者——蛋白質”要求計算氨基酸脫水縮合過程中形成肽鍵的數目；“細胞有絲分裂”課后拓展要求畫}“染色體數目和行為變化的規律曲線；“探究細胞不能無限長大的原因”要求根據測量結果計算并填寫表格；“DNA的結構”中有關堿基數目的計算；“基因是有遺傳效應的DNA片段”一節“探究脫氧核苷酸序列與遺傳信息的多樣性”：“細胞核——系統的榨制中心”一節的技能訓練，要求解釋數據，探究細胞核是否為活細胞所必需；“生態系統的能量流動”資料分析和技能訓練要求分析和處理數據。這些訓練有利于理解科學的本質，學會科學的方法。

二、數形結合思想的應用

生物圖形與數學曲線相結合的試題是比較常見的一種題型。它能考查同學們的分析、推理與綜合能力。這類試題從數形結合的角度，用數學圖形來表述生物學知識，體現理科思維的邏輯性。

例1 下圖1表示細胞分裂的不同時期與每條染色體DNA含量變化的關系：圖2表示該生物處于細胞分裂不同時期的細胞圖像。下列相關敘述錯誤的是（ ）。

A.處于圖1中AB段的細胞可能發生基因突變，D點染色體數目是C點的二倍

B.圖2中乙細胞發生基因重組，分裂產生一個卵細胞和一個極體

C.圖2中乙、丙細胞處于圖1中的BC段，甲細胞處于DE段

D.圖2中甲細胞含有4個染色體組，染色體數：DNA分子數=1：1

解析 圖1告訴我們，染色體是不是含有染色單體，如果處于BC段那就是含有染色單體，因為此時一條染色體上含有兩個DNA分子，如果處于DE段，那就是含有一個DNA分子。

A正確，處于圖1中AB段的細胞正在進行DNA的復制，所以可能發生基因突變；D點由于染色體的著絲點分開，原來的一條染色體變成了兩條染色體，所以染色體數目是C點的二倍；

B錯，乙細胞分裂產生一個次級卵母細胞和一個極體：

C正確，圖2中乙、丙細胞都是一條染色體含兩個DNA的，所以處于圖1中的BC段，甲細胞由于一條染色體上含有一個DNA，所以處于DE段：

D明顯正確。

答案為B。

三、運用排列組合法突破學習難點

排列與組合作為高中數學的重要知識。在減數分裂過程中，減數第一分裂（中期）的同源染色體在細胞中央的不同排列方式，在細胞兩極出現不同的染色體組合，最終形成不同基因組成的配子，這是遺傳的分離定律與自由組合定律細胞學證據。同樣，遺傳信息的傳遞與表達過程中，也涉及堿基的排列與密碼子的組合方式。因此，在學習過程中，我們要從具體的實例出發，結合排列與組合知識，解決生物學上的一些疑難問題。

例2 果蠅的合子有8個染色體，其中4個來自母本（卵子），4個來自父本（精子）。當合子變為成蟲時，成蟲又產生配子（卵子或精子，視性別而定）時，在每一配子中有多少染色體是來自父本的，多少個是來自母本的？（ ）

A.4個來自父本，4個來自母本

B.卵子中4個來自母本，精子中4個來自父本

C.1個來自一個親本，3個來自另一親本

D.0、l、2、3或4個來自母本，4、3、2、1或0來自父本（共有5種可能）

解析

染色體在形成配子時完全是獨立分配的，因為在同源染色體發生聯會后，二價體在赤道板上的排列方式是完全隨機的，因此每個配子所得到的4個染色體也是完全隨機的。每個配子所得到的一套染色體有可能是5種組合中的一種，實際上每種組合又會有不同的情況。如將這4對染色體分別命名為m₁、m₂、m₃、m₄和p₁、p₂、p₃、p₄。那么上述情況下，配子有可能是：m₁m₂m₃m₄、m₁p₂p₃p₄、m₂p₁p₃p₄、m₃p₁p₂p₄……p₁p₂p₃p₄。因此，當我們不僅考慮數量，而且也考慮到質量時，4對染色體的配子組合數應為2⁴=16。在只考慮數量時，此題答案為D。

四、運用函數圖像表達生理反應

生物體的各種生理反應常常受許多的因素影響，而且還會隨著影響因素程度的改變而改變。為了確定影響因素的最佳影響值及其所對應的生理最佳水平，我們常常以自變量為橫坐標，以因變量為縱坐標，將兩者的關系繪制成平面直角坐標系中的函數圖像，并加以分析，充分利用函數圖像的形象性、客觀性、概括性等特點。例如光照強度或CO₂濃度對植物光合作用的影響；溫度與呼吸強度、光合強度、根吸收礦質元素離子的關系；生長素濃度與植物生長的關系；溫度或pH對酶的活性的影響；ATP的產生量與氧氣濃度的關系；生物的種間關系等。函數圖像的運用可以直觀、生動地分析生命現象，從而揭示出生物體結構，闡明某些知識點。

例1 右圖是一坐標曲線圖、據圖回答：

（1）若縱坐標代表一個初級消費者種群，橫坐標代表時間，那么出現AB段的原因________________。

（2）若縱坐標代表酶的催化效率，橫坐標代表溫度，那么B點所對應的橫坐標值表示________________。

（3）若縱坐標代表人體內的血糖濃度，橫坐標代表正常人飯后的時間，從糖代謝的角度考慮，出SEBC段的原因是________________。

（4）若縱坐標代表植物某一器官的生長情況，橫坐標代表生長素濃度的變化，那么，該圖反映出生長素的作用特點是________________。

答案 （1）食物豐富，氣候適宜，缺少天敵 （2）酶催化作用的最適溫度 （3）葡萄糖氧化分解，葡萄糖合成肝糖原和肌糖原，轉化為脂肪和氨基酸等非糖物質 （4）不同濃度的生長素對植物生長的促進作用不同，體現生長素作用的兩重性。

五、運用數學歸納法舉一反三

在平時學習中，我們要學會進行知識和題型分析，歸納出一般規律，有助于提煉信息、理斛知識和掌握解題規律，達到舉一反三、融會貫通的效果。

在學習DNA的結構和復制時，可以總結一系列關于DNA復制的公式，以便加深對DNA結構和復制的理解。

一個DNA分子經n次復制后：

（1）DNA分子總數為2ⁿ個

（2）脫氧核苷酸鏈數為2ⁿ⁺¹條。

（3）母鏈始終為2條，占總數的比例為1/2ⁿ

（4）含母鏈的DNA分子數為2，占總數的比例為1/2^n-1

（5）一個DNA分子中含某堿基m個，DNA復制n次，則需游離的該堿基個數為m2^n-1個

高中生物學科中涉及的數學建模遠不止這些，限于篇輻，本文在此只作簡要的歸納。我們知道，實際問題是復雜多變的，數學建模需要我們具有一定的探索性和創造性。存學習過程中，充分的運用它能很好地解決一些生物學實際問題，讓我們對生物學產生更濃厚的興趣。生命科學作為一門自然科學，其理論的深入研究必定會涉及很多數學的問題。在生物學習中，構建數學模型正是聯系數學與生命科學的橋梁。如何將生物學理論知識轉化為數學模型，這是對我們創造性地解決問題的能力的檢驗，也是生物學學習的重要任務。