讓代數(shù)與幾何“齊飛”

滕玉娟

摘 要：用代數(shù)解決問題書寫過程簡潔，用幾何知識解決問題計算量較少，兩方面結(jié)合起來解決問題，既能拓展學(xué)生思維，又能訓(xùn)練學(xué)生綜合運用知識能力，并且能使初中數(shù)學(xué)知識作為一個整體呈現(xiàn)給學(xué)生。

關(guān)鍵詞：知識結(jié)合；思維拓展；解決問題

幾何圖形以一種直觀美帶給教師和學(xué)生無限的樂趣，代數(shù)知識以一種抽象美帶給教師和學(xué)生無限思考。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，將代數(shù)與幾何知識結(jié)合起來進行解決問題，對學(xué)生思維提升大有益處。在教學(xué)中筆者非常重視利用代數(shù)和幾何這兩種方法解決同一個問題，諸如以下問題。

案例一：在學(xué)習(xí)了絕對值以后，學(xué)生對利用絕對值的性質(zhì)去絕對值符號深有了解，如x-3+x+6=9，求x的取值范圍。

利用代數(shù)問題解決此題的方法是對x進行分段討論，即x<-6；-6≤x≤3；x>3這三種情況，在這三種情況下去掉絕對值符號，再結(jié)合已知，確定x的取值范圍。

利用幾何知識求解，絕對值指的是在數(shù)軸上，點到原點的距離。我們可以拓展一下，x-3的絕對值表示的是x與3之間的距離；那么x+6的絕對值表示的是x與-6之間的距離，這樣問題就轉(zhuǎn)化成了，在數(shù)軸上有一點（表示的數(shù)為x）到3與-6的距離之和為9，確定這點x的取值范圍。

數(shù)軸是最原始的將“數(shù)”和“形”結(jié)合在一起的數(shù)學(xué)知識，在此問題中學(xué)生不僅能用代數(shù)知識和幾何圖形知識解決這個問題，還對絕對值又有了進一步的理解，更重要的是學(xué)生有了初步“代數(shù)”與“幾何”結(jié)合思想的認識。

案例二：在直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（-4，-1）和（-2，-5）；點P是y軸上的一個動點，求點P在何處時，PA+PB的和最小。

這個問題的題干本身就含有代數(shù)和幾何兩方面知識，即平面直角坐標系和軸對稱知識。

分析：這個問題實質(zhì)是在求P點的坐標，首先確定P點。利用軸對稱知識分析確定B的對稱點B1，連接AB1，交y軸一點，這點即為符合要求的點P。（原因略）

代數(shù)解法：根據(jù)題中給出的已知條件，可以求出經(jīng)過A（-4，-1）和B1（2，-5）的一次函數(shù)解析式，再求出一次函數(shù)解析式與y軸的交點坐標，這個坐標即為所求的P點坐標，點P為（0，-■）。

幾何解法：設(shè)線段BB1與y軸的交點為N，再過點A做AM⊥y軸，垂足為點M。可以證明△AMP與△B1NP相似，根據(jù)坐標可以確定線段AO=4，線段B1N=2，線段MN=4，不妨設(shè)線段PN的長度為a，則線段PM的長度為（4-a），根據(jù)相似三角形“對應(yīng)邊成比例”的性質(zhì)，我們可以求出a=■，這樣得出OP的長度為■，因此求點P為（0，-■）。

構(gòu)建相似三角形的方法并不唯一。重要的是讓學(xué)生理解可以用代數(shù)和幾何的知識求解同一個問題。

在解題過程中，利用代數(shù)方法解題書寫過程簡潔，利用幾何方法解題計算量有所減少。學(xué)生可以根據(jù)自己的喜好去選擇適合自己的方法。但是在教師課堂授課過程中，如果涉及的問題能利用幾何和代數(shù)兩種方法求解的，一定要全部展示給學(xué)生，這樣做學(xué)生不僅學(xué)會了利用代數(shù)和幾何的方法解決數(shù)學(xué)問題，還能從中體會到初中數(shù)學(xué)代數(shù)和幾何知識的統(tǒng)一。利用幾何和代數(shù)方法解決問題，使學(xué)生既能靈活地運用所學(xué)知識，同時又拓展了他們的思維。

參考文獻：

王華.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實踐·問題與案例：36個與中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)相關(guān)的案例故事[M].上海：上海教育出版社，2009.

（作者單位 內(nèi)蒙古自治區(qū)滿洲里市第二中學(xué)）