注重用向量線性運算的幾何意義解題

李凌云

摘 要：在解決向量的有關(guān)線性運算的習(xí)題時要注重用向量線性運算的幾何意義解題，把代數(shù)問題幾何化，從而達到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：向量；線性運算；幾何意義

向量是近代數(shù)學(xué)最重要和最基本的概念之一，是溝通幾何、代數(shù)、三角等內(nèi)容的橋梁，它具有豐富的實際背景和廣泛的應(yīng)用。向量在高考中的考查主要集中在兩個方面：一是向量的基本概念和基本運算；二是向量作為工具的應(yīng)用。基本概念和基本運算的考查主要以選擇和填空題的形式出現(xiàn)，解決此問題請不要忽略用向量線性運算的幾何意義去思考，從而使代數(shù)問題幾何化，可以達到事半功倍的效果。現(xiàn)以以下幾題為例說明：

例1.（2013湖南卷理科第6題）已知a，b是單位向量，a·b=0。若向量c滿足c-a-b=1，則c的取值范圍是（ ）

A.■-1，■+1 B.■-1，■+2

C.1，■+1 D.1，■+2

點評：平面向量線性運算是高考常考的知識點，在解題過程中善用它的幾何意義去理解、分析題意，代數(shù)問題幾何化，使要解決的問題更加清晰、明了。本題再結(jié)合圓的定義，動點C到定點D的距離為定值1，從而確定C的軌跡，使問題迎刃而解。

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圖1

例2.（2013北京卷文科第14題）已知點A（1，-1），B（3，0），C（2，1）.若平面區(qū)域D由所有滿足■=λ■+μ■（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的點P組成，則D的面積為__________

點評：本題也可以通過設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y）用代數(shù)的方法，得出x，y的線性約束條件，利用線性規(guī)劃知識得出可行域的面積，但這種方法有些繁瑣，而利用向量的線性運算的幾何意義可以達到事半功倍的效果，再利用課本的例題結(jié)論輕松得出結(jié)果。

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圖2

例3.設(shè)向量a，b，c滿足|a|=|b|=1，a·b=■，（a-c）·（b-c）=0，則|c|的最大值等于（ ）

A.■ B.■

C.■ D.1

點評：本題主要考查向量的數(shù)量積運算和減法運算，在解題過程中善用向量減法運算的幾何意義再結(jié)合數(shù)量積垂直的充要條件從而確定動點C的運動軌跡，使代數(shù)問題幾何化，從而快速得出結(jié)果。

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圖3

（作者單位 江西省奉新縣冶城職業(yè)學(xué)校）