小問題 大思想

馬志峰

摘 要：化歸不僅是一種重要的解題思想，更是一種有效的數學思維方式。只有善于對所要解決的問題進行變換轉化，才能使問題得到解決。

關鍵詞：隔板法；化歸思想；解決問題

在課堂中如何做到由淺到深、用化歸思想轉化為基本問題來解決的教學一直是我們所要探索的。

在此通過以下幾個問題來探究：

問題1（基本問題）：9個相同的小球放到3個不同盒子里，每個盒子至少一個球，有多少種不同的放法？

解析：把3個盒子看作由平行的4個隔板組成的。每一個滿足要求的放法都相當于9個小球和4個隔板的一個排列，其中兩個隔板在兩頭，任何兩個隔板之間至少有一個球（即任何兩個隔板不相鄰），把兩頭的兩個隔板拿掉，每一個滿足要求的放法還相當于在排成一列的9個小球間的8個空檔中插入2個隔板，不同的放球方法即插隔的方法，共有C28=28種。

反思與總結：隔板法應用了對應的方法，應用此法的前提是小球完全相同（不加區分），盒子是不同的，每個盒子至少一個球。簡言之，隔板法可以看成是相同元素分給不同對象，每個對象至少分到一個元素的問題解法。

問題2（變式與推廣）：9個相同的小球，放入3個盒子中，每個盒子至少放2個球，有多少種不同的放法？

解析：先在3個盒子中各放一球，化歸為把6個球放入3個盒子中，每個盒子至少放一個。答案是：C25=10。

反思與總結：問題的解決主要是用了化歸的思想——“至少兩個”化歸為“至少一個”，這樣就可以轉化為基本問題來解決。該題還可以改編為如下：

例1.9個相同的小球分到編號為l、2、3的三個盒子里，每個盒子分的球數不少于其編號數，有多少種不同的分法？

解析：先在2號盒放一個球，3號盒放2個球；問題就轉化為6個球放入3個不同盒子，每個盒子至少一球。用隔板法，可求得分法種數為C25=10。

例2.9個相同的小球放入編號為l、2、3的三個盒子中，問不同的放法有多少種？

解析：先給每個小盒放入一個球，題目中給定的9個小球任意裝，問題就轉化為12個小球裝入3個不同的盒子，每個盒子至少一球的裝法有C211=55種。

問題3（深化提高）：（1）方程x1+x2+x3+x4=10的正整數解有多少組？（2）方程x1+x2+x3+x4=10的非負整數解有多少組？

解析：（1）原方程的正整數解可以理解為10個“1”分給x1、x2、x3、x4，每個至少有一個“1”，即可轉化為10個相同的小球裝入4個不同的盒子，每盒至少裝一個，有C39=84種，所以該方程有84組正整數解。

（2）轉化為10個相同的小球裝入4個不同的盒子，可以有空盒，先給每個小盒裝一個，進而轉化為14個相同的小球裝入4個不同的盒子，每盒至少裝一個，有C313=286種，所以該方程有286組非負整數解。

例3.A={a1，a2，a3，a4，a5}，B={1，2，3，4，5，6}，滿足條件f（a1）≤f（a2）≤f（a3）≤f（a4）≤f（a5）的映射f的個數是多少？

解析：按映射f的象集元素個數分為5類：

（1）象集恰有5個元素時，有C56個映射；

（2）象集恰有4個元素時（即恰有1個等號成立），從B中取4個元素，有C46種方法，再將集合A中的5個元素按下標由小到大的順序分為4組，即a1，a2，a3，a4，a5的中間的4個空檔插入3個隔板，有C34種分組方法（這4組分別記為第1，2，3，4組），從B中取出的4個元素按由小到大的順序分別與第1、2、3、4組相對應。所以共有C46·C34個映射；

（3）象集恰有3個元素時（即恰有兩個等號成立），同理有C46·C24個映射；

（4）象集恰有2個元素時（即恰有3個等號成立），同理有C46·C14個映射；

（5）象集恰有1個元素時，同理有C16個映射；

由分類計數原理，映射f的個數為C56+C46·C34·C24+C26·C14+C16=C510。

我們若以“問題，探究，交流，反思”為主線的探究性課堂教學，讓學生在“在實際中探索，在探索中反思，在反思中創造”，一節課就會比單純枯燥的教學好很多！

參考文獻：

[1]孫傳利.數學教學中滲透化歸思想[J].中學生數理化，2006（07）.

[2]金曉明.化歸思想在初中數學中的滲透[J].科學大眾，2009（05）.

[3]王晗寧.數學思想對教學的啟示[J].現代商貿工業，2009（16）.

（作者單位 江西省廣豐中學）