高三數學總復習課應重視“五個不到位”

侯代忠

【關鍵詞】高三數學 總復習課

五個不到位

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2013）06B-

0079-03

作為教育局長、數學特級教師，到學校一線去聽課，是我長期以來養成的工作習慣。在聽課中、在與教師和學生的交流中，筆者經常感覺教師課堂教學有“五個不到位”，應給予足夠重視。現歸納出來，與同行共勉。

一、應重視基礎知識“歸納不到位”

每年的高考試題中有許多題取之于課本，或是課本習題的改型、拼湊。有選擇、填空，也有解答題，即使是較難的題目，也能在課本中找到它的“影子”。因此，教師在復習教學中要重視課本，立足于課本，強化知識基礎。我們講復習立足課本，不是機械重復或是“炒冷飯”，而是要著力理清思路，系統梳理知識脈絡，總結基本方法，精選范例，引導學生靈活運用知識，正確、迅速、簡捷地解題。

例如，在復習“函數奇偶性”時著重抓以下幾點：

1.抓住實質，力求用簡短語言、數學符號來描述、梳理基本概念

f（-x）=f（x）？圮偶函數

f（-x）=-f（x）？圮奇函數

強調注意：①等式對定義域內的一切x均成立；②x，-x必須同時落在定義域中，即定義域關于原點對稱；③f（x）是偶函數？圳f（x）的圖像關于y軸對稱；f（x）是奇函數？圳f（x）的圖像關于原點對稱；既奇又偶，非奇非偶函數均存在。

2.從定義、性質入手，歸納基本方法

（1）要證明某個函數f（x）是奇、偶函數，只須證明：第一，定義域對稱；第二，f（-x）與±f（x）是否相等，或者用等價式子f（x）±f（-x）=0或者=±1的證明代替。

（2）兩個奇（偶）函數的和與差，仍是奇（偶）函數；兩個同奇或同偶的函數的積是偶函數，一奇一偶函數之積為奇函數。

（3）f（x）與有相同的奇偶性。

3.挖掘相關的知識點，加強基本聯系

（1）利用奇偶函數的對稱性可進行作圖，也可以確定某圖象對應的函數的奇偶性。

（2）奇函數在R+與R-上有相同的單調性，偶函數R+與R-上有相反的單調性。

（3）若奇函數在定義域內有最值，則最大最小值同時存在且互為相反數。

又如，在復習冪函數、指數函數、對數函數的圖象時，難點在于圖象的位置隨a的變化情況，于是可幫助學生進行如下歸納整理：

①冪函數y=x2（x∈R）

小結：a逆時針方向增大，圖象繞（1，1）逆時針擺動。

②指數函數y=-ax（a>0且a≠1）.

小結：分y軸左、右兩邊來看，a漸增大時，圖象繞（0，1）逆時針擺動。

③對數函數y=logax（a>0且a≠1）

小結：分x軸上、下兩邊來看，a漸增大時，圖象繞（1，0）順時針擺動。

例l（92年高考）圖中曲線是冪函數y=xn在第一象限的圖象，已知n取±2，±四個值，則相應于曲線C1，C2，C3，C4的n值依次為：

（A）-2，-，，2 （B）2，，-，-2

（C）-，-2，2， （D）2，，-2，-

根據上面的結論，顯然答案是（B）。

二、應重視通性通法“傳授不到位”

通性通法通常指具有某種普遍意義的結論和方法。它輻射面廣，易于大多數學生理解和掌握。高考也重在考查通性通法，遺憾的是我們許多教師尤其是年經教師在高考復習教學中喜愛標新立異，盲目求巧，大量增加“準結論”的傳授，試圖以巧取勝，其結果轉移了學生的學習興趣與目標，不但增加了學生的課業負擔，也違背了大綱的要求，影響了高考成績的大面積提高。這種脫離高考實際的做法，我們必須引起足夠重視。

例如，1992年高考文科（24）題，求“sin220°+cos280°+sin220°cos280°的值”；95年高考理科（22）題求“sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值”與必修課本代數上冊P193例4基本相同。解法不下4、5種，其中最常用的解法是降冪、和差化積、積化和差。從評卷提供的信息來看，一些學生解答不出，而另一些學生則用了對稱構造法，三角形構造法及其他方法來解。這兩種現象，至少反映教學過程中存在如下幾個問題：其一，學生沒有認真學；其二，學生學的方法多，掌握不牢；其三，教師熱衷于“一題多解”，追求解題技巧，忽視常規解法的教學。因此，加強高考復習“常規”教學，是不容忽視的。

又如，解無理不等式的常規思路是化無理為有理，即轉化為等價有理不等式來求解，圖象法固然巧，但個別教師教學時本末倒置了。

在高考數學復習階段，必須遵循教學規律，認真鉆研《考綱》和《說明》，重視通性通法的教學。從題目的眾多解法中分析選擇通法，著眼于傳授和培養學生分析解決某一類問題的一般方法，從而提高學生的一般解題能力。對那些帶規律性、全局性和運用面廣的方法，就應花大力氣，深入研究，務必使學生理解實質，真正熟練掌握。而對那些局限性大，應用面窄的奇招、怪招則宜淡化。

三、應重視基本能力“培養不到位”

“重基礎，出活題，考能力”，已成為目前高考命題“定勢”，因此如何在總復習階段，切實提高學生的數學能力，應該成為教師的“重頭戲”。這里所指的能力應該包括數學學科的能力和一般能力。數學能力主要指邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力以及運用所學數學知識和方法分析問題和解決問題的能力。一般能力指可在不同領域的學習和工作中進行遷移的能力，如注意力、觀察力、記憶力、想象力、思維力和組織力等。那么，在高三教學復習中應培養學生具備哪些能力才能取得較好的復習效果？筆者認為應培養學生具備以下幾個方面的能力：

1.轉化或化歸的能力；

2.數形結合的能力；

3.分類討論的能力；

4.用函數與方程思想分析問題和解決問題的能力；

5.應用數學知識解決實際問題的能力；

6.準確、迅速的運算能力；

7.較好的應試能力。

例如，已知圓滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其中弧長比為3∶1；③圓心到直線的距離為，求該圓的方程。（97高考文第25題）

轉化的目標：設圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2，確定a、b、r。

轉化的手段：用待定系數法，輔以數形結合（圖略）。

轉化的方法：應用解幾何知識將條件分別轉化，找出關系式。

圓心到x軸、y軸的距離分別為|a|和|b|。

①轉化為：r2=a2+1

②轉化為：∠APB=90°，有AB=r，因此有r2=2b2

③轉化為：=

聯立①、②、③解方程可得到a、b、r。

四、應重視探究過程“引導不到位”

展示思維過程，通常從展示知識的發生過程、問題的探索過程、方法的思考過程三個方面進行。教師的數學課堂教學應該向學生展示自己的思維過程，和學生共同探討，一起尋求解決問題的辦法，讓學生不但有機會了解教師解決問題的思想方法，還有機會了解教師在解決問題時遇到的挫折和挑戰，與教師一起經歷曲折與失誤。同時，教師也要引導學生敢于、善于暴露自己的思維過程，這有助于課堂教學中師生互動和教師對學生學習程度的把握。

例如，反正弦函數的概念是學生學習反三角函數知識時學習的第一個概念，如果學生掌握了這個概念的形成過程，對概念有較深刻的理解，那么對后面的三個反三角函數概念的理解就十分容易了。

為此，筆者設計了三張幻燈片來創設情境。

第一張幻燈片：

第二張幻燈片：

第三張幻燈片：

像這樣通過三張投影片以舊換新，步步緊跟，設法求答，提示概念的形成過程，學生感到自然、易理解，不僅知道概念是什么，而且知道概念是怎樣想到的。

五、應重視解題反思“培養不到位”

所謂反思，就是多層次、多角度地對問題及解決問題的思維過程進行全面的考查、分析和思考，從而深化對問題的理解，優化思維過程，揭示問題的本質，探索一般規律，促進知識的同化和遷移，進而產生新的發現。

反思能夠使學生從多方面、多角度地觀察事物并尋求多種思路，養成在學習中質疑問題的優秀品質。教師在教學中應該引導學生積極反思，使之成為學生自覺學習的一種習慣，讓學生在反思中領悟數學思想、方法，優化他們的認知結構，提高他們的思維能力。例如，是否存在常數a、b、c，使得等式1·22+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）對一切自然數都成立？并證明你的結論。（89年高考題）

本題可由特殊到一般進行解答。不少同學通過令n=1，2，3，列出了三元一次方程組，求解a、b、c，遺憾的是由于運算能力不過關，錯解了這個方程組，導致后面全錯；有的同學雖解對了a=3，b=11，c=10，但運用歸納法推證時，運算有誤，無法得到n=K+1時的正確結論，最后不得不下了一個錯誤的結論。

由此可見，通過反思，教師應重視幫助學生糾正解題失誤，強調錯因剖析，讓學生“吃一塹，長一智”，幫助學生樹立“練后考100分”的信心。

例，若直線y=x+t與橢圓+y2=1相交于A、B兩點，當t變化時，弦長|AB|的最大值是多少？

解：∵直線y=x+t與橢圓+y2=1相交于A、B兩點，

∴把y=x+t代入橢圓方程+y2=1中，整理得5x2+8tx+4t2-4=0.

∵△=（8t）2-4×5×（4t2-4）=0.

∴-

∵由已知可設（x1，y2），（x2，y2），

∴x1+x2=，x1x2=

∴|AB|=·

=·

=·

∴當t=0時，|AB|max=

故弦長|AB|的最大值是。

通過反思可以發現，以下涉及直線與圓錐曲線的弦長的問題均可以采用同樣的方法進行求解。

問題1：直線x+y-2=0截圓x2+y2=4所得弦長為多少？

問題2：已知一拋物線C的頂點在y軸上，焦點是F（2，-1），過點F的直線交拋物線于A、B兩點，且|AB|=，在拋物線的對稱軸上取一點M，使得△ABM的面積等于4，求點M的坐標。

問題3：已知拋物線的準線是x=，對稱軸上有一點，坐標為（6，2），拋物線與直線y=x-1所得弦長為3，求此拋物線的方程。

問題4：過雙曲線2x2-y2-8x+6=0的右焦點的直線l交雙曲線于A、B兩點，若|AB|=4，則這樣的直線有多少條？

數學課堂教學是數學思維活動的教學，是教師與學生互相溝通、交往的過程。這種溝通是數學信息的接受、加工、傳遞的動態活動。學生是活動的中心人物，是認識的主體。因此，在教學設計中要突出和保障學生的主體地位，要依據學生的認知基礎，給學生充分的思考時間和思考空間，全面調動學生的積極性，讓學生在教師的引導下，主動地建構數學認知結構，并使學生的思維品質、探索精神、合作意識得到全面發展。

綜上所述，認真落實“雙基”，狠抓基礎知識的教學，就能訓練學生堅實的基本功；狠抓通性通法的教學，就能起到“做一題，學一法，會一類，通一片”的功效；強化基本能力培養，有助于提高學生的思維素質；狠抓探究過程引導，有助于提高學生的探究能力；狠抓學生解題反思能力的培養教學，對提高學生分析問題和解決問題的能力，適應素質教育的需要，大面積提高教學質量，都具有現實和深遠的意義。

（責編 林 劍）