感悟不等關系 建立數學模型

趙春

一、教材分析與設計理念

本節內容為蘇教版《數學》必修五第三章第一節。在初中階段，學生已經認識了不等符號，會做一些簡單的大小比較練習。教材給出了3種類型的不等關系問題，分別為一元一次、一元二次、二元一次不等式（組），讓學生體會生活中“不等關系”的廣泛存在與應用，學會在生活中建立抽象的數學模型，并用來解決問題，即實施“實際問題—數量關系—不等式—解不等式—解決實際問題”的教學思路，而本節課的重點則是前三步，是為后續內容打下建模的基礎，起到承上啟下的作用。

在設計本節課的教學活動時，考慮到內容難度不大，教師可以引導學生運用“自主、合作、探究”去解決問題，也可以引導學生采取自學的方式來完成學習任務。但是既然上一節課，就要讓學生有更大的收獲，因此我在設計教學活動時，就本節課的深度和廣度進行了考慮。作為本章的起始內容，我認為不能太難，不能太過理論抽象，否則將破壞學生下面學習的積極性，因此我的設計沒有加入理論性的證明。本節課作為本章一個統領性的課題，應該立足于生活中廣泛存在著數學的基礎上，引導學生用數學的眼光去觀察生活，從中提煉出數學方法和數學思想。

我這樣設計：生活中的小常識（糖水問題中的數量關系）—不等關系的廣泛存在—課本三個例子—建模的過程與關鍵—生活中的數學。這樣的教學流程讓學生自然順暢地在生活和數學的融合中進行探究與發現。

二、教學目標

知識與技能：

1.通過具體情境，使學生感受在日常生活中存在著大量的不等關系，進而了解不等式（組）的背景。

2.通過課堂的合作探究，讓學生經歷由實際問題建立數學模型的過程，熟悉建立不等式模型的基本思路，學會基本方法。

過程與方法：

通過大量實例讓學生感受生活中的數學和生活中的不等關系。

情感、態度與價值觀：

通過課堂教學，使學生體會生活中的數學的重要作用，培養與提高學生的觀察能力與抽象思維能力。

三、教學重點與難點

重點：引導學生用不等式刻畫現實生活中的不等關系。

難點：通過具體情境建立不等關系模型。

四、教學過程

1.情境創設。

（教師演示）教師兩手各持一個一樣大小的杯子，分別倒入了50g、200g的水，分別在兩個杯子中依次加入5g、10g糖，攪拌均勻至完全溶解。

師：我在剛才的過程中提到了4個數字。

（板書）50、200，5、10

我們平時所說的左邊杯子中水比右邊水少，用數量關系該如何表示？

生：50<200。

師：哪一杯中的糖更多？能否用數學關系式表示？

生：右邊的杯子糖多，表示為10>5。

師：你認為哪杯水更甜？

生：左邊的50g水的更甜。

師：請你嘗嘗看是不是這樣呢？

（在學生肯定了答案之后再問）你能否也通過一個數量關系式來表示哪杯水更甜呢？

生：更甜是指糖水的濃度更大，因此表示為

> ，這個結果化簡即可證明。

師：如果我在左邊的杯子里再加入xg糖，這杯水會比剛才更甜還是淡？體現出什么樣的數量關系？

生：更甜。 >

師：這個表達式，同學們課后可以自己通過做差比較驗證。

從這個試驗中，我們看到了實際問題中蘊含了很多數量關系，生活中的數量關系除了我們以前所學的等量關系以外，還有很多不等關系，如比較兩個同學一高一矮，兩個同學跑步一快一慢等等，這便是我們今天要一起來探究的《不等關系》（投影）。

不等關系來源于生活，我們今天來研究它，又能解決什么樣的實際問題呢？讓我們走出去看一看：（投影）

2.數學建模。

例1 班級打算周末組織同學去寶應湖濕地公園踏青，已知門票為每位50元，40人以上（含40人）時可以打8折，經統計參加人數不足40人。現在有兩種購票方式：一是按照40人購團體票，二是按照實際人數購票。哪種購票方式花費更少？

學生小組討論，很快得出了結論。

（1）題目中涉及了哪些量，將其列出：

票價 人數

50 <40

50×0.8 ≥40

（2）它們滿足什么樣的關系或者我們要解決什么問題？

比什么：團體票總價與個體票總價。

怎么比：哪個更省？

比如前者更省，便得到了數量關系：

團體票總價<個體票總價

（3）將數量關系轉換為表達式：

解：設實際參加人數為x（x<40，x∈N*）人

50×0.8×40<50x

師：我們今天解決的問題是建立不等關系，至于這個不等式怎么解，留到以后研究。

買好票進了公園，管理員又給大家出了一個問題：（投影）

例2 公園若以每人50元的價格出售門票，每周約有游客2萬人，經過調查，如果采取促銷策略，價格每降低1元，游客數則會增加1000人，若門票降低了x（x∈N*）元，要使公園的門票收入大于120萬元，x應定在什么范圍內？

小組討論，著重探究過程：

（1）找量：票價 人數

50 20000

50-x 20000+1000x

（2）找關系：總收入>120萬元

（3）列式：（50-x）（20000+1000x）>1200000

師：游玩了半天后，來到公園餐廳，能否幫廚師解決這個問題呢？（投影）

例3 公園的綠色餐廳營養快餐由甲、乙和丙三種食物混合而成（維生素含量如下表）。

廚師現在欲將三種食物混合成100kg的食品，要使混合食品中至少含35000單位的維生素A以及40000單位的維生素B，設甲、乙、丙各有xkg、ykg、zkg，那么x，y，z應滿足怎樣的關系？

（1）題目中已經將有關量通過表格的形式呈現出，要注意的是除了常數以外，變量也是一方面，不能忽略。

（2）找關系：（不要忽略實際問題的隱含條件）

總重量=100

維生素A的含量≥35000

維生素B的含量≥40000

（3）列式：

x+y+z=100300x+500y+300z≥35000700x+100y+300z≥40000x，y，z∈（0，100）

師：通過公園游玩中遇到的三個實例，大家是否可以總結出我們由實際問題建立數學模型的一般步驟？

生：找量—找關系—列式。

師：既然我們從幾個例子中找到了一般規律，那我們再回到生活中，看看你對下列哪個方面的問題感興趣。

3.數學應用。

不等式是刻畫現實世界中不等關系的數學模型，在解決實際問題中有著廣泛的應用，引導學生進一步挖掘一些感興趣和富有時代感的內容，加深認識。

展示課件：分別用六個按鈕鏈接了6個職業的例子，由學生自主選擇。

植物學家 海監船員 投資顧問

藥劑師 數學家 公務員

學生首先選了“公務員”（投影）：

揚州市決定將今年新招聘的公務員安排到鄉鎮基層鍛煉，如果每個定點的鄉鎮安排4人，那么有20人無法安排，如果每個鄉鎮安排7人，那么有一個鄉鎮將會不空也不滿，求定點鍛煉的鄉鎮數和公務員人數。

學生板書一：假設鄉鎮數為x（x∈N*）個，表示出人數為4x+20。

列式：0<（4x+20）-7（x-1）<7

學生板書二：假設鄉鎮數為x，公務員數為y，（x，y∈N*）。

y=4x+200

學生第二次選擇的是“投資顧問”（投影）：

公司計劃用不超過60萬的資金投資甲、乙兩個項目，按要求對項目甲的投資不小于對項目乙的投資的 ，且對每個項目的投資不能低于5萬元，對項目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對項目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤。假設對甲、乙兩項目的投資分別為x、y萬元，試設計出滿足題意的關系式使利潤不少于24萬元。

學生解答x+y≤60x≥ y0.4x+0.6y≥24x，y≥5

（課堂時間一般能解決兩個問題，其他備選例題附后——編者注）。

4.課堂小結。

了解不等關系在生活中的廣泛運用；可以通過具體情景建立不等式模型；“找量—找關系—列式”這個過程中關鍵是第二步；可以問兩個問題：一是比什么？即找出是哪幾個量在進行比較；二是怎么比？即這些量之間是用什么關鍵詞連接的。

4.課后作業

（1）課本P74練習2-4。

（2）自己再從生活中尋找不等關系，同學之間相互交流。

（3）預習一元二次不等式的解法，體會本章在實際生活中的作用。

附：

植物學家：某種植物適合生長在溫度為不低于18℃不高于20℃的山區，已知山區海拔每升高100米氣溫下降0.55℃，現測得山腳下的平均氣溫為22℃，該植物種在山區多高處為宜？

解：設植物應該種在山區x米處

18≤22- ×0.55≤20

海監船員：中國海監巡航編隊在我國釣魚島海域巡航時，測得在距離釣魚島300海里的正東方向有一臺風中心形成，并以30海里/小時的速度向北偏西30度的方向移動，在距臺風中心270海里的范圍內將會受到臺風影響，問：從現在起經過多少小時后釣魚島開始受到臺風的影響？

本題為一元二次關系，量的列出形式多樣，除了例題中的表格展示外，本題也是一個典型的通過圖形來展示的模型。

解：設經過x小時后受到臺風影響：

3002+（30x）2-2×300×30x×cos60°<2702

藥劑師：配置A和B兩種藥劑需要甲和乙兩種原料，已知配一劑A種藥需要甲原料3mg、乙原料5mg；配一劑B種藥需要甲原料5mg、乙原料4mg，今有甲原料20mg、乙原料25mg，設A、B兩種藥分別配x、y劑，且A、B兩種藥至少各配一劑，試列出關于x、y的不等式組。

解：3x+5y≤205x+4y≤25x∈N*y∈N*

數學家：K是邊長為1的正方形ABCD的對角線BD上一點，連結AK，并延長交BC于點M，△AKD與△BKM的面積和隨著DK長度的變化是否會小于0.5？

解：設DK=x，則BK= -x，利用相似比：

= 得BM= -1

xsin45°+ （ -x）（ -1）<

（作者單位：江蘇省興化中學）