巧用坐標系解正余弦不等式

劉麗娟

摘 要： 正余弦不等式即已知角的正余弦范圍求角和已知角的范圍求正余弦，在三角函數的綜合題中常涉及這類計算.人教版教材中是通過畫正余弦圖像求解，但由于學生存在“恐函”心理，畫圖像解題效果不理想.本文介紹用“坐標系”法解正余弦不等式，不用畫正余弦圖像，只要畫坐標系就可以解題，解題既快又準確.

關鍵詞： 正余弦圖像 “坐標系”法 正余弦不等式

“坐標系”法的依據：

sin（0+2kπ）=sin0=0

sin（ +2kπ）=sin =1

sin（π+2kπ）=sinπ=0

sin（ +2kπ）=sin =-1

把它們體現在坐標系上，得到：

同理可得cosx的坐標系：

學生可以在理解的基礎上記住：正弦sinx在坐標軸上的值按逆時針順序依次為：0，1，0，-1；余弦cosx在坐標軸上的值按逆時針順序依次為：1，0，-1，0.

應用一：求坐標軸上角的正余弦值.

例1：計算sin180°-cos270°+sin360°+cos0°-cos180°

點評：學生碰到坐標軸上角如：180°、270°的正余弦，要么容易記錯，要么用誘導公式推導，或者用三角函數的定義推導，但是如果學生記住以上的坐標系，則解題既快又不會錯.

應用二：已知正余弦的范圍，求角的范圍.

例2：已知y=sinx，x∈R，求滿足- ≤y< 的x的集合.

首先用圖像法解：

第一種解法：

從圖像得出符合條件的集合為：

[2kπ， +2kπ）∪（ +2kπ， +2kπ）]∪[ +2kπ，2π+2kπ]（k∈Z）

第二種解法：

從圖像得出符合條件的集合為[- +2kπ， +2kπ）∪（ +2kπ， +2kπ]（k∈Z）.

點評：正余弦是周期函數，研究圖像時，常取一個周期考慮，然后再加上周期性.正弦的一個周期常取[0，2π]，余弦的一個周期常取[-π，π]，得到上面第一種解法，圖像分為三段，答案比較復雜.第二種解法有所改進，取的一個周期是[- ， ]，圖像分為兩段，答案比較簡潔.學生在解題時常會困惑到底該取哪個周期比較合適，反而容易出錯.

“坐標系”法：

第一步（準備）：畫正弦坐標系，坐標軸按逆時針標上0，1，0，-1；

第二步（畫終邊）：在一、二象限用實線畫正弦值為 的角的終邊，在三、四象限用虛線畫正弦值為- 的角的終邊，此時坐標平面被分成四個區域；

第三步（定區域）：找出正弦值介于- 和 的區域，并用帶有逆時針方向箭頭的弧線標出；

第四步（確定角）：在同一周期取定四條終邊對應的四個角，遵循原則：按逆時針方向角度從小到大.

結論：[- +2kπ， +2kπ）∪（ +2kπ， +2kπ]（k∈Z）.

點評：本方法最容易錯的就是第四步，所以第三步中要用帶有逆時針方向箭頭的弧線標出區域，目的就是為了區分角的大小.第一象限那條終邊對應的角如果取 ，而左邊區域箭頭指向它，所以第四象限那條終邊對應的角要比 小，應取- ，而不是 .

應用二：已知角的范圍，求正余弦的范圍.

例3：已知- ≤x< ，求y=cosx的取值范圍.

第一步（準備）：畫余弦坐標系，坐標軸按逆時針標上1，0，-1，0；

第二步（畫終邊）：用實線畫- 對應的終邊，用虛線畫 對應的終邊，坐標平面被這兩條終邊分為兩個區域；

第三步（定區域）：找出角介于- 和 的區域，并用帶有逆時針方向箭頭的弧線標出，目的：從小角指向大角；

第四步（觀察值）：順著箭頭方向可以看出，cosx的值從 增到1，再從1減到- .

結論：-

點評：用“坐標系”法解已知正余弦的范圍，求角的范圍和已知角的范圍，求正余弦的范圍方法大致是一樣的，這個方法的優點就是不需要作圖，解題速度快且容易做對.

相關練習：

1.計算sin540°+cos270°-cos90°+sin180°.

2.y=3sin（2x+ ），x∈[- ， ]，求y的取值范圍.

3.y=2cos（ - ），1

高中數學大部分內容都與函數有關，因此學生“聞函色變”，對與函數有關的知識掌握的也不是很好，產生了“恐函”心理.正弦函數、余弦函數的定義、圖像，利用圖像解正余弦不等式等知識，學生學起來可能有點吃力.“坐標系”法可以不用畫圖，方法簡單，所求區域用逆時針方向箭頭標出，降低了難度，學生容易接受，提高了解題效率.