關于“三角形內角和是180度”驗證方法的思考

朱玉明

摘 要： 本文提出對通過“測量求和法”“剪拼法”“折拼法”等方法來驗證“三角形內角和是180度”的思考，以學生已有的知識體驗為依托，為學生進一步獲取有價值的數學知識奠定基礎，并以此來培養學生分析問題和解決問題的能力，并形成一定的數學思維能力。

關鍵詞： 測量求和法 剪樣法 折拼法 數學問題

《數學課程標準》指出：“重視評價學生發現問題、解決問題的能力。對學生發現問題、解決問題的能力可以從以下方面進行考查：能否從現實生活中發現和提出數學問題；能否探索出解決問題的有效方法，并試圖尋找其他方法。”小學生數學的學習過程是從直觀逐漸向抽象過渡的過程，并在學習的過程中形成一定的分析問題、綜合問題、解決問題的能力。讓學生動手去實踐，并在實踐和比對中思考，則是解決數學問題的一種有效途徑。

一、幾種常見方法的比較

驗證“三角形的內角和是180度”，常見的有三種方法：

1.用量角器量出三個角的度數，然后加起來看是不是180度（下文簡稱“測量求和法”）；

2.將三角形三個角剪下來，再將它們拼在一起看能不能組成平角（下文簡稱“剪拼法”）；

3.將三個角折起來拼在一起，看能不能組成平角（下文簡稱“折拼法”）。

對于這三種方法中，“測量求和法”的優點是：接近學生的思維水平，課堂上學生很容易想到，也很容易理解；缺點是：“測量”存在著誤差，因此測得的三個角的度數加起來往往不是180度。這使得測量結果非但不能驗證結論，相反卻易給人造成“三角形內角和不是180度”的錯誤印象。

“剪拼法”的優點是：操作簡單、看起來一目了然；缺點是：破壞了原圖形，不能很好地體現原圖形與剪下來后圖形間的聯系與變化。

而“折拼法”則有效地避免了“量”、“剪”的缺陷，可惜操作起來困難，想起來費勁——它要求學生首先沿著“中位線”來折，而“中位線”對學生來說則是個陌生的事物。

二、幾種常見方法的導出

其實對于三角形內角和三種常見的驗證方法“量”也好，“剪”也好，“折”也罷，它們或多或少都存在著誤差。用單個任何一種方法驗證“三角形內角和就是180度”，不足以讓人信服。因此，讓盡量多的驗證方法出現的課堂上，“讓各種方法相互解釋、互相佐證”是上好這節課的關鍵。

然而事實并不隨你我所愿。正常情況下，學生上課時只能想到“量”這一種方法，其他方法的出現，充其量僅僅是一兩個“優等生聞道預先”。

如何通過教師藝術的啟發，引導出多樣的驗證方法呢？

我們對課堂中可能出現的種種情況進行了預設：新課伊始，學生猜想“三角形內角和是180度”，教師將猜想板書在黑板上追問：三角形內角和真的是180度嗎？說說你的依據。

1.“測量求和法”的引出：采用“一點突破”，緊扣“內角和”逐步逼近。

先用紅筆圈出課題“三角形內角和是180度”中的“內角和”（停頓，看看老師的暗示能不能個學生啟發）。

如果學生還是想不到，接著啟發：“課題中‘內角和是什么意思？”

如果學生還想不到方法，繼續提問：要知道三個內角“度數”的和，要用到什么工具？怎么辦？

2.“剪拼法”的導出：采用“說半句留半句”的策略，將“180度”與“平角”鏈接起來。

先用紅筆圈出“180度”，并提問：我們前面學過180度的角又叫做——（輕輕地、緩緩地、比學生慢半拍）平角。

接著：判斷三角形的內角和是不是180度，就可以將三角形三個內角——（等待，學生能說讓學生說，學生不能說教師手勢在前，語言在后）放在一起，看它們能不能拼成（再等待）——平角。

3.至于“折拼法”——讓學生自學教材，邊看邊操作就行了。

我們在對教材中提及的“折拼法”方案（如圖1）稍作改進：首先讓學生折“高”找到對應的“垂足”；然后將三角形三個“頂點”分別對準“垂足”進行折疊就行了（見圖2），經改進操作起來簡便多了。

圖1

圖2

三、幾種常見方法呈現的“序”

驗證三角形內角和是180度，常見的有三種方法：一是用量角器分別量出三個角的度數，然后加起來；二是將三個角剪下來拼成一個平角；三是將三個角折起來拼成一個平角。對于這三種方法的呈現，老師們基本都是從學生較易理解的“用量角器量角求和”入手，然后研究“剪”、“折”等拼角的方法。

對這樣的安排，我認為有些不符合邏輯——因為在交流“量”這種驗證方法時，不管老師怎樣解釋，實際量得的結果總是實實在在地影響著“用拼角的方法驗證三角形內角和是180度”的可信度——理由很簡單：工具測量有誤差，粗略的“拼湊”誤差更大。

“誤差”這是一個“剪不斷，理更亂”的話題，教學時我們不妨采用“回避”的策略：首先，將學生提出的各種驗證方法一一列舉在黑板上。然后，在集中交流時，先討論“剪”或“折”的方法，讓學生體驗、確認“三角形內角和是180度”。最后，與學生一起交流“用量角器測量驗證”的方法并討論：為什么測量算得的三個角的度數加起來不是180度呢？

這樣讓學生在正向確認，反向解釋，不但避免了誤差干擾，而且強化了“三角形內角和定理”。