導數問題中的錯例剖析

秦勤

摘要：導數的引進無疑為中學數學注入了新的活力，但由于概念的抽象性，對基礎知識掌握不全面或對題意理解不準確，在應用中出現一些錯誤現象。本文對幾類常見錯誤進行剖析，以期引起大家的注意，試圖對學生今后的學習有所啟迪與幫助。

關鍵詞：導數問題；錯例；剖析

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）52-0097-02

導數的引進無疑為中學數學注入了新的活力，但由于概念的抽象性，對基礎知識掌握不全面或對題意理解不準確，在應用中出現一些錯誤現象。本文對幾類常見錯誤進行剖析，以期引起大家的注意，試圖對學生今后的學習有所啟迪與幫助。

一、對單調性判定法則的理解發生偏差

例1？搖判斷函數f（x）=x-cosx在定義域區間（-∞，+∞）上的單調性。

錯解：f（x）=1+sinx，當x=2kπ+■（k∈Z）時，f（x）=0，不滿足f（x）>0，所以f（x）=x-cosx不是單調函數。

剖析錯解：教科書中指出：“函數y=f（x）在某個區間內可導，如果f（x）>0，則f（x）為增函數；如果f（x）<0，則f（x）為減函數”，這僅是判定函數單調性的充分條件而不是必要條件，實際上，如果僅在某些個別點出現f（x）=0，但在其余點都是使f（x）>0，那么f（x）仍是增函數。

正解：f（x）=1+sinx，僅當x=2kπ+■（k∈Z）時，f（x）=0，所以f（x）≥0，從而f（x）=x-cosx是增函數。

二、忽視導數的幾何意義

例2？搖已知曲線f（x）=2x3-3x，過點M（0，32）作曲線f（x）的切線，求切線的方程。

錯解：由導數的幾何意義知：k=f（0）=-3

所以曲線的切線方程為Y=-3x+32。

剖析錯解導數的幾何意義是曲線上該點的切線的斜率，因此要注意此點是不是在曲線上。

正解：設切點坐標為N（x0，2x03-3x0），則

切線斜率為k=f（x0）=6x02-3

切線方程為y=（6x02-3）x+32

又點N在切線上，故有：

2x03-3x0=（6x02-3）x0+32，得x0=-2

所以切線方程為y=21x+32。

三、忽視閉區間上極值與最值的關系

例3？搖求函數f（x）=x3-2x2+x在[-3，3]上的最值。

錯解：f（x）=3x2-4x+1

令f（x）=3x2-4x+1=0

解得x=1，x=■

所以，極值點為x=1與x=■。

因為f（1）=0，f（■）=■

所以函數的最大值為■，最小值為0。

剖析錯解：閉區間上的最值問題是極值點處的函數值與端點處的函數值進行比較，然后取其最大值和最小值，而不能簡單地把極值等同于最值。

正解：f（x）=3x2-4x+1=0

令f（x）=0

解得x=1，x=■

所以，極值點為x=1與x=■

所以f（1）=0，f（■）=■

F（-3）=-48，f（3）=12

所以函數的最大值為12，最小值為-48。

四、給定區間是單調區間的全集還是子集

例4？搖若函數f（x）=x3-mx2+2m2-5的遞減區間是（-9，0），求m。

錯解：f（x）=3x2-2mx<0得■m

所以f（x）的單調遞減區間是（■m，0），所以（■m，0）？勐（-9，0）

所以■m≤-9即m≤-■。

剖析錯解：沒有看清楚條件，若告訴f（x）在（-9，0）上單調遞減，則上述解法是正確的，這與告訴遞減區間是（-9，0）是不一樣的，錯解的原因就在于分不清兩者的差異。

正解：f（x）=3x2-2mx<0得■m

所以f（x）的單調遞減區間是（■m，0），所以■m=-9

所以m=-■。

五、注意單調性的充要條件

例5 已知函數f（x）=x3+ax2+3x-1（a>0），且f（x）在其定義域內為增函數，求a的取值范圍。

錯解：f（x）=3x2+2ax+3>0，得△=4a2-4×3×3<0，

所以a2<9，即0

剖析錯解：錯在沒有考慮f（x）=0

正解：f（x）=3x2+2ax+3，因為f（x）在R上是增函數，所以f（x）≥0在R上恒成立。得△=4a2-4×3×3≤0故a2≤9，即0

六、導數為0的點不一定是極值點

例6？搖已知函數f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為10，求

f（x）。

錯解：f（x）=3x2+2ax+b

則？搖f（1）=0？圯3+2a+b=0f（1）=10？圯1+a+b+a2=10 ？搖所以a=4b=-11或a=-3b=3

所以f（x）=x3+4x2-11x+16或f（x）=x3-3x2+3x+9。

剖析錯解：錯解在于認為導數為0的點就是極值點。實際上導數為0的點只是存在極值可疑點，若它的兩側導數異號，它才為極值點；若同號，則不為極值點。

正解：求出a，b得解析式后，應再看f1（x）=3x2+8x-11=（3x+1）（x-1），f2（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2，易知f2（x）在x的兩側同號，所以x=1不是f（x）的極值點，故f（x）=x3+4x2-11x+16為所求。