自動(dòng)控制原理根軌跡分析法教學(xué)中的新思考

季畫 李素玲 邢雪寧

摘要：本文將MATLAB仿真軟件應(yīng)用于《自動(dòng)控制原理》課程根軌跡分析法的教學(xué)過程中，通過軟件仿真驗(yàn)證得到結(jié)論：增加位置適當(dāng)?shù)拈_環(huán)零點(diǎn)，能夠顯著增加控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能。為實(shí)際工程設(shè)計(jì)中根軌跡法校正提供了理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：自動(dòng)控制原理；根軌跡分析法；MATLAB；開環(huán)零點(diǎn)

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2013）52-0116-02

自動(dòng)控制原理是電氣自動(dòng)化、機(jī)械工程等專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，同時(shí)也是各高校相關(guān)專業(yè)研究生考試的專業(yè)課之一。該課程主要研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的一般規(guī)律，要求學(xué)生掌握兩方面的任務(wù)：控制系統(tǒng)分析和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。控制系統(tǒng)分析是在建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，利用各種系統(tǒng)分析方法得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及運(yùn)動(dòng)性能，包括定性分析和定量計(jì)算。控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)就是要尋找一個(gè)能夠?qū)崿F(xiàn)所要求性能的控制系統(tǒng)。其中，控制系統(tǒng)的三大分析方法：時(shí)域分析法、根軌跡分析法和頻域分析法貫穿于整個(gè)自動(dòng)控制原理的教學(xué)當(dāng)中。課程內(nèi)容具有較強(qiáng)的理論性和抽象性，同時(shí)涉及到的數(shù)學(xué)知識(shí)較多，計(jì)算繁雜，使學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)難于理解，容易產(chǎn)生厭學(xué)情緒。目前最流行的MTALAB仿真軟件可以方便地完成控制系統(tǒng)建模、系統(tǒng)分析和系統(tǒng)設(shè)計(jì)中各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算，實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)的仿真運(yùn)行。因此，我們將其引入到課堂教學(xué)過程中，通過實(shí)際控制工程案例的MATLAB仿真，大大激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，從而提高了自動(dòng)控制原理的課堂教學(xué)質(zhì)量。作為三大分析方法之一的根軌跡分析法是分析和設(shè)計(jì)線性定常控制系統(tǒng)的圖解方法，在控制工程中得到了廣泛的應(yīng)用。控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)決定了閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時(shí)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)的基本特征也是由閉環(huán)極點(diǎn)起主導(dǎo)作用。根軌跡法根據(jù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)與其閉環(huán)特征方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，給出了一種簡單實(shí)用的求取閉環(huán)特征根的圖解方法：即已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，當(dāng)其中某一個(gè)參數(shù)進(jìn)行變化時(shí)，繪制閉環(huán)極點(diǎn)在復(fù)平面上所走過的軌跡。根據(jù)繪制根軌跡的八條基本法則，我們能很容易的繪制出系統(tǒng)相應(yīng)的根軌跡圖，這是進(jìn)行根軌跡分析的前提條件，要求根軌跡圖的繪制必須要準(zhǔn)確無誤。接下來的工作就是通過根軌跡法來分析系統(tǒng)的性能。我們知道，在經(jīng)典控制理論中，控制系統(tǒng)的性能，即控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要評(píng)價(jià)取決于系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。控制系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的分布決定著階躍響應(yīng)的類型，而閉環(huán)零點(diǎn)的分布影響著階躍響應(yīng)的形狀。因此根軌跡分析法首先進(jìn)行的是閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的定性分析。同時(shí)，由根軌跡的繪制法則可知，系統(tǒng)根軌跡的形狀、位置完全取決于系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)的分布。因此可通過增加開環(huán)零、極點(diǎn)的方法來改造根軌跡。本文主要借助于MATLAB仿真軟件，通過增加控制系統(tǒng)開環(huán)零點(diǎn)的方法來分析其對(duì)根軌跡及系統(tǒng)性能的影響。使用MATLAB的根軌跡繪圖函數(shù)rlocus，不僅可以使控制系統(tǒng)的根軌跡作圖清楚準(zhǔn)確，而且非常方便。

例1：一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：Gk（s）■。

繪制常規(guī)根軌跡如圖1（a）所示。此時(shí)系統(tǒng)起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡始終位于右半S平面，原系統(tǒng)不穩(wěn)定。

分別增加開環(huán)零點(diǎn)z=-2、z=-0.5和z=0，增加的開環(huán)零點(diǎn)從負(fù)實(shí)軸方向依次向坐標(biāo)原點(diǎn)靠近，相應(yīng)的根軌跡如圖1（b）、（c）、（d）所示。從圖中可以看出，增加開環(huán)零點(diǎn)，改變了實(shí)軸上根軌跡的分布，使根軌跡的走向向左偏移，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，而且所增加的零點(diǎn)越靠近原點(diǎn)，這種作用越大。

由于控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能取決于系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，因此使用MATLAB繪制系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)函數(shù)step繪制出（c）和（d）兩種穩(wěn)定情況下系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，如圖2所示。

從圖2中可以看出，增加開環(huán)零點(diǎn)，能夠改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。而且，（d）系統(tǒng)與（c）系統(tǒng)相比，明顯調(diào)節(jié)時(shí)間減小，超調(diào)量降低。因此，文獻(xiàn)[1]中指出，增加系統(tǒng)開環(huán)零點(diǎn)對(duì)改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的作用隨著其本身接近坐標(biāo)原點(diǎn)的程度而加強(qiáng)。但筆者認(rèn)為此結(jié)論適合例1系統(tǒng)，但不能推廣到任意系統(tǒng)中。為了進(jìn)行驗(yàn)證，再看一個(gè)實(shí)例。

例2：一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：Gk（s）■，分別增加開環(huán)零點(diǎn)：z=-3、z=-1.5和z=-0.5，用MATLAB繪制出四種情況下系統(tǒng)的根軌跡圖如圖3所示。

從圖3中可以看出增加開環(huán)零點(diǎn)提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，從原來?xiàng)l件穩(wěn)定的系統(tǒng)改善為完全穩(wěn)定的系統(tǒng)，而且所增加的零點(diǎn)越靠近原點(diǎn)，這種作用越大。此結(jié)論與例1得出的結(jié)論一致。使用MATLAB/simulink得到（b）、（c）、（d）三種穩(wěn)定情況下系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，如圖4所示。從圖中可以看出，（c）系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間最短，超調(diào)量最小，因此動(dòng)態(tài)性能最優(yōu)，但對(duì)應(yīng)的所增加的開環(huán)零點(diǎn)卻不是離原點(diǎn)最近的情況。

因此，通過MATLAB仿真軟件的驗(yàn)證，我們可以得出這樣的結(jié)論：只要增加位置適當(dāng)?shù)拈_環(huán)零點(diǎn)，就能使閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能得到顯著的增加。此結(jié)論為實(shí)際工程設(shè)計(jì)中如何合理地設(shè)計(jì)校正裝置，使系統(tǒng)的性能能夠滿足技術(shù)上的要求提供了理論依據(jù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]胡壽松.自動(dòng)控制原理[M].第四版.北京：科學(xué)出版社，2001.

[2]李素玲，胡建，王敏.自動(dòng)控制原理[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2005.

[3]孫亮.MATLAB語言與控制系統(tǒng)仿真[M].北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社，2006.

[4]薛定宇.控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)—MATLAB語言與應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2006.

作者簡介：季畫（1977-），山東青島人，講師，從事自動(dòng)化方面的研究與教學(xué)工作。