中學數學中某些思想方法的教學研究

黃建壩

摘 要： 數學思想方法是人類思想文化寶庫中的瑰寶，是數學的精髓，中學數學中處處蘊涵數學思想方法.作者結合自身的教學實際從三個方面論述函數和方程思想、分類討論思想、數形結合思想、轉化（化歸）思想等中學常用的數學思想方法的教學.

關鍵詞： 中學數學教學教學 數學思想方法 教學方法

一、全面認識數學思想方法

數學思想方法包括數學思想和數學方法兩個方面.所謂數學思想是指“從某些具體的數學認識過程中提升的觀點，是對數學概念、方法和理論的本質認識.”所謂數學方法是指人們在數學活動中為達到預期目的而采取的各種手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規則或模式.方法是實現思想的手段，任何方法的實施，無不體現某種或多種數學思想；而數學思想往往是通過數學方法的實施才得以體現的，它們在一定范圍內有通用性（如：“消元”既是方法又是思想），二者關系密切，有時不易區分，人們常把數學思想與數學方法合為一體，稱之為“數學思想方法”.

二、中學數學中某些思想方法的教學

1.函數和方程思想.

（1）函數描述了客觀世界中相互關聯的量之間的依存關系，是對問題本身的數量特征及制約關系的一種刻畫.因此函數思想的實質是用聯系和變化的觀點提出數學對象之間的數量關系，并用映射給予嚴格的形式，它幾乎成為貫穿中學數學的一條主線.中學的函數思想，應包括建立函數模型解決問題的意識、函數概念和性質的廣泛運用、函數圖像的應用.

例1：按復利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期利率為r，設本利和為y，存期為x，寫出本利和y隨存期x變化的函數式.如果存入本金1000元，每期利率2.25%，試算5期后的本利和是多少？

在實際問題中，常常遇到有關平均增長率的問題，如果原來產值的基礎數為N，平均增長率為p，則對于時間x的總產值y，可以用下面的公式y=N（1+p）■表示.解決平均增長率的問題，要用到這個函數式.

培養學生函數思想，會用變量和函數思考數學問題，學會建立函數模型解決問題的意識，前提是應該理解函數的概念，將概念通俗化，就是兩個變量之間的變化關系，反應到坐標系中就是y對x的關系，在此基礎上通過簡單實例學習歸納出中學數學中常見的幾種基本函數的解析式，牢固掌握它們的圖像和性質后將其應用于實際問題中.

（2）方程的內容在中學階段也同樣經歷了由淺入深的歷程.其中最重要的變化是從具有確定解的方程，發展到解連續變化的方程；從注重解的數值特征，轉向方程的幾何意義，另外還有方程與多方面因素的相互聯系.方程的思想是在這樣的過程中逐步培養起來的.其中當然包含通過設立未知量建立相等關系，即把未知看做已知的意識，還有如何用方程（方程組）的知識解決問題，等等.

在等差與等比數列中，常常需要研究之間的關系，我們可以以方程思想為指導，尋找求知數個數與方程個數間的關系，根據題意逐個列出方程，等等，都要用到方程思想方法，根據題意列出所需要的方程.

2.分類討論的思想.

所謂分類思想，就是根據數學對象本質屬性的共同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的思想方法.例如“直線在平面外”常要分為線面平行，線面相交討論；qn的極限需要按q所取值的范圍討論；三角函數值的正負要按角所在象限討論，等等.根據分類思想，人們把這些對象全體組成的集合劃分成若干個子集（類），使得具有共性的對象屬于同一個子集，而不具有這種共性的對象屬于別的子集.分類是以比較為基礎，將研究對象進行比較整理.同樣一些東西構成的集合可依不同法則（標準）分類.如：三角形按角分類，也可按邊分類，解決實際問題時，根據實際情況確定分類方法.

在教學中要注意分析分類的原因、時機與分類的標準、方法，此例是類中有類，正是因絕對值概念引起分類討論再而由二次函數對稱軸的變化即圖形位置的不定引起分類討論，（二次函數的單調性與對稱軸的變化關系或開口與二次項次數的符號的關系），引發討論的原因還有很多，如指數、對數函數的底數對函數性質的影響，圓錐曲線方程中，分母的符號、大小對曲線類型，曲線位置不同的影響，排列、組合中經常遇到的分類問題等，要能準確分類，必須加強基礎知識的教學，在平時各相關知識點的教學中，在知識的形成過程中，讓學生明確分類的意義與必要性，重復出現，逐漸強化.分類討論的方法在數學中占有重要地位，通過分類，可以化整為零，各個擊破，變一般為特殊，變模糊為清晰，變抽象為具體.

3.數形結合的思想.

所謂數形結合是根據數量與圖形之間的關系，認識研究對象的數學特征、尋找解決問題的方法的一種數學思想方法.數學是研究現實世界空間形式和數量的科學，因而數學研究總是圍繞著數與形進行的.數以形而直觀，形以數而入微.在數學教學中，運用聯想的思維，以數構形，以形思數，滲透并強化數形結合的思想方法，使抽象的問題變得直觀、易理解，同時有利于激發學生的學習興趣，培養學生思維的形象性和廣闊性.中學數學教材中處處蘊涵數形結合的思想.

數形結合的解題思想方法的特點是：具有直觀性、靈活性、深刻性，并跨越各章節界線，有較強的綜合性，不等式、方程、函數之間，方程與二次曲線之間，三角方程與三角曲線之間，不等式與線性規劃之間都有著密切聯系等，平時教學必須加強這方面的訓練，讓學生學會以數構形，以形思數，反過來進一步鞏固數學知識，打好基礎，提高能力.

4.轉化（化歸）的思想方法.

所謂轉化（化歸）的思想是指在研究數學問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而使問題得到解決的一種解題策略.一般情況下，都要將未解決的問題化歸轉化為已解決的問題.它是數學中基本的思想方法，同時也是在解決數學問題過程中常用的基本思想方法.數形結合的思想體現了數與形的相互轉化；函數與方程思想體現了函數、方程、不等式間的相互轉化；分類討論思想體現了局部與整體的相互轉化，因此以上三種思想方法都是轉化思想的具體體現，各種變換的方法及分析法、反證法、特定系數法、構造法等都是轉化的手段.

高考中十分重視對化歸與轉化思想的考查，要求考生熟悉各種化歸與轉化的變換方法，并有意識地運用變換方法解決有關的數學問題.化歸需明確三個問題：（1）明確化歸對象；（2）明確化歸的目標；（3）明確化歸的方法.

以上化歸方法在求函數最值問題時經常用到，如三角函數最值問題常常要轉化為一些我們所熟知的函數（如二次函數）最值問題等.教師在平時的教學中應有意識地結合例題讓學生體會轉化方法，轉化思想，盡可能在做完題后認真反思，從中提煉方法.學生學會轉化的關鍵是必須具備扎實的基礎知識和基本理論，并且能對課程內容融會貫通，系統掌握課程內容的內在聯系.教師必須注重各章節知識交匯處的教學，加強知識間的橫向聯系.

三、如何在數學教學中滲透數學思想方法

數學思想方法教學所采用的主要方法是滲透，所謂滲透，就是有機地結合數學知識的教學，反復向學生講解，通過逐步積累，讓學生對數學思想方法的認識由淺入深，由表及里，漸進地達到一定的認識高度，從而自覺地運用之.

1.鉆研教材，充分挖掘教材中蘊涵的數學思想方法.

數學定義、法則、公式、定理等知識都明顯地寫在教材中，而數學思想方法卻隱含在數學知識體系里，并且分散于各冊教材的各章節中.我們在備課時要認真鉆研教材，充分發掘提煉在教材中的數學思想和方法，并弄清每一章節主要體現了哪些數學思想，運用了什么數學方法，研究大綱，吃透教材，揣摩教材編寫的意圖，挖掘教材中蘊涵的數學思想方法.例如通過實數、整式概念的教學，可以滲透分類的思想.

2.把掌握數學思想方法納入教學目標.

數學教育的根本目的在于培養數學能力，即運用數學解決實際問題和進行發明創造的本領.而這種能力，不僅表現在對數學知識的記憶，更主要地依賴于對數學思想方法的掌握和發揮.把要滲透的思想方法精心設計到教案中，在備課時要考慮如何結合教材內容進行數學思想方法滲透，滲透什么數學思想方法，滲透到什么程度，例如一般三角形通過作高可以轉化為直角三角形，再利用勾股定理和三角函數和知識易求解，這當中滲透了由一般到特殊轉化的思想方法；求二元一次方程組的解，可以轉化為兩個一次函數的圖像的交點問題，這樣抽象的問題就轉化為直觀形象的問題，當中滲透了數形結合的思想和轉化的思想；教師只有這樣把握教材的思想體系，才能在教學中不失時機地滲透數學思想方法.

3.反復再現，逐漸強化.

數學思想方法不可能經歷一次就能正確認識并遷移，需要在長期的教學中，不斷地再現，反復地引導與強化，才有可能使學生達到掌握的程度.首先是從模仿開始的.學生按照例題示范的格式解答與例題相同類型的習題，實際上是數學思想方法的機械運用.此時，并不能肯定學生領會了所用的數學思想方法，只有當學生將它用于新的情境、已經解決其他有關問題時，才能肯定學生對這一數學本質、數學規律有了深刻的認識.

數學思想方法是培養數學能力與數學人才的需要，因為數學教育的根本目的在于培養數學能力，而這種能力不僅表現在對數學知識的記憶，更主要地依賴于對數學思想方法的掌握和發揮.它使學生學會用數學的思想思考和解決問題，把知識的學習和培養能力、發展智力有機地聯系起來.所以加強數學思想方法的教學，不僅關系到人的數學素養的培養和提高，而且關系到人的素質的培養和提高.數學教師要更新觀念，重視數學思想方法的教學，深入鉆研教材，努力挖掘教材中所蘊涵的思想方法.

參考文獻：

[1]吳炯圻，林培榕.數學思想方法[M].廈門：廈門大學出版社，2001.6.

[2]毛永聰.中學數學創新教法[M].北京：學苑出版社，1999.6.