基于《勾股定理》的同課異構分析淺談“創造性地使用數學教材”

陳瑤

摘要：創造性地使用教材主要表現在對教材的靈活運用和對課程資源的綜合、合理、有效利用。它需要教師具有較強的課程意識，準確把握教材編寫意圖和教學目的，避免形式化、極端化傾向。在創造性地使用教材的過程中教師的專業化水平將得到飛速提高。

關鍵詞：教師；教材使用；創造性；勾股定理

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）50-0153-02

本次課程改革無論是在課程設置上還是在課程內容及教材編排方式的更新上都給教師提供了廣闊的創造空間。它帶來教學觀念、方式的一大改變，就是要求打破原有的教學觀、教材觀，創造性地使用數學教材。這就要求教師在充分了解和把握課程標準、學科特點、教學目標、教材編寫意圖的基礎上，以教材為載體，靈活有效地組織教學，拓展課堂教學空間。創造性地使用教材是教學內容與教學方式綜合優化的過程；是課程標準、教材內容與學生生活實際相聯系的結晶；是教師智慧與學生創造力的有效融合。

一、創造性的使用教材的內涵

創造性地使用教材主要表現在對教材的靈活運用和對課程資源的綜合、合理、有效利用。它需要教師具有較強的課程意識，準確把握教材編寫意圖和教學目的，避免形式化、極端化傾向。在創造性地使用教材的過程中教師的專業化水平將得到飛速提高。

那究竟如何來創造性地使用教材呢？筆者擬通過人教版八年級下冊《勾股定理》一課來具體闡述。在人教版的教學建議中，明確指出：《勾股定理》一課的教學目標是使學生了解勾股定理的歷史背景，體會勾股定理的探索過程，掌握直角三角形的三邊關系。為了達成教學目標，不同的教師創設任務的方式也有所不同。

二、課堂再現

課例1

1.提出問題。T：相傳兩千五百多年前，古希臘畢達哥拉斯去朋友家做客，在宴席上，其他的賓客都在盡情地歡樂。只有畢達哥拉斯卻看著朋友家的方磚發呆，原來朋友家的地面是用直角三角形形狀的磚鋪成的，黑白相間美觀大方。主人看到畢達哥拉斯的樣子非常奇怪就過去詢問，誰知畢達哥拉斯突然站起來，大笑著跑回家了，他發現了直角三角形的某一些性質。同學們，你知道畢達哥拉斯發現了什么性質？你能發現什么？S1：我發現圖中有直角三角形，而且是等腰直角三角形。S2：我發現以直角邊為邊做出的正方形的兩個面積之和等于斜邊為邊做出的正方形面積。T：我們發現A+B=C，由于這個三角形為特殊的直角等腰三角形。我們再來看幾個直角邊為整數的三角形，它們的面積是否依然存在這樣關系？

2.解決問題。T：接下來我們一起來做個實驗，大家看下圖。A、B、C面積之間有什么關系？邊長a、b、c之間存在什么樣的關系？

老師發現有的同學不會算C的面積，于是請會算的同學說說計算思路。

S：我用的方法是補的，就是把這樣以c為邊的斜的正方形補成一個正放的大正方形。

先算出大正方形的面積，減去4塊直角三角形的面積就得出C的面積了。

T：非常好，有沒有不同的方法？

S：我用的是分割的方法。我把這個大的正方形割成4個直角三角形和1個小的正方形。我們可用三角形的面積加上中間小正方形就是大的正方形的面積。

T：非常好。接下來，請大家仔細觀察表格中的數據，請想一下，直角三角形三邊可能存在哪些數量關系？

S：a2+b2=c2

3.揭示本質。T：我們剛才進一步驗證我們的猜想a2+b2=c2是成立的。那對于一般的直角三角形，兩直角邊為a、b斜邊為c，是否都有a2+b2=c2？不要忘記，剛才我們在求大正方形的面積是如何求的？它給我們什么啟示？其實歷史對證明勾股定理有許多種，而我們中國古代數學家的證明思想是“以盈補虛，出入相補”。

T：2002年國際數學家大會放在北京舉行，大會的會徽正是三國時期的數學家趙爽關于勾股定理證明的草圖。同學們，請拿出紙筆證明一下。

S：我用大的正方形的面積等于四個直角三角形加上小正方形的面積。

T：運用面積不變，用割補的方法我們可以得到a2+b2=c2。

4.描述定義。T：下面我們給出勾股定理的表述。

命題：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

數學語言：∵△ABC為直角三角形，∠C=90°∴AC2+BC2=AB2

5.教學總結。T：同學們，今天這節課我們學了勾股定理，那你學到了什么？S：用割補法進行勾股定理的證明。T：對，我們講了中國古代以盈補虛的數學思想，那這種以面積來證明勾股定理的方法同時也體現了我們的數學上的數形結合的思想。這節課你還學到了哪些數學方法？S：從特殊到一般。T：我們從特殊的等腰直角三角形入手再探究有整數邊的直角三角形，最后到一般直角三角形的證明。

分析：張老師本節課的重點放在定理的證明上，讓學生充分體驗邏輯推理的魅力。讓學生自主探索、小組合作交流，直觀理解勾股定理規律的發現，重視學生獨立思考和探索能力的培養，在與同學交流學習中，通過取長補短，吸收同學意見，修正、完善自己的想法，探討出利用割補法求面積的方法，就本節課的教學內容而言，掌握方法（割補法）和滲透學科思想（轉化的思想）與知道結果同樣重要。

課例2

1.引入課題（第一次活動）。T：請在方格紙上畫面積最小的格點Rt△ABC，教師用實物投影展示一位學生作品即如圖△ABC，并隨即提問：Rt△ABC中，BC=1，AC=1，你能否用計算面積法求AB的長？

S：可以把四個三角形拼成一個大正方形，得到正方形的面積為2，那正方形的邊長也就是AB的長為■。

T：對于一個特殊的Rt△確實有a2+b2=c2，但對于一般直角三角形能成立嗎？

2.深入探究（第二次活動）。T：請各組利用手中的四個全等Rt△紙板，拼出一個邊長為C的正方形。（設定兩直角邊、斜邊分別是a，b，c）學生合作后擺出了如下的兩種圖案：

T：對于擺法1，大正方形面積可有幾種表示法？S：兩種，一種是c2，另一種為4個直角三角形和與一個小正方形的面積。

T：小正方形邊長為多少？S：b-a，把兩種表示法等同起來（b-a）2+2ab=c2，化簡整理得a2+b2=c2。

S：對于擺法2，也可得出a2+b2=c2。

3.強調定義。如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

4.總結拓展。T：關于勾股定理的證明方法有五百余種，在這數百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因為證明者身份的特殊而非常著名。下面我們來看幾組勾股定理證明的簡單介紹（介紹劉徽圖、加菲爾德圖），希望同學們課下也去思考一種證明勾股定理的方法。

分析：課例2中的兩次活動都運用了動手操作的形式，非常符合中學生好奇性強的心理特點，幾乎所有的學生都興趣盎然地參與了整個學習活動，并在教師的提問下進行積極的思考與探索。新課程下的學生不希望老師經常給他們一些輕而易舉就能解決的問題，有時他們渴望做一個探索者、研究者、論證家。而上面的兩個活動正是為學生提供了這樣的氛圍與平臺，使學生在合作學習中體會了從特殊到一般的論證思想，整個設計提倡多樣化問題解決的思維方式，在活動中完成了思維的不斷發展。最后老師展示了一些較為典型的證明方法激發學生思考，也為學生課下學習奠定基礎。

三、創造性地使用教材

上述兩位老師都在課堂中創造性地使用教材，那創造性地使用教材究竟有哪些可取之處呢？筆者認為有三點：首先，它要求教師要進一步樹立課程意識，以新的課程觀（學生觀、教材觀、課程資源觀）來重新審視、規劃教學目標、內容和方法——以更高、更寬的眼光來設計教學、看待孩子，而不僅僅局限在教材和一時的教學效果。其次，教師在創造性使用教材中應充分認識明確教學目的的重要性。每節課、每次活動都應有明確的教學目的，而不是為了創造性地使用教材而輕率、刻意地去更改教材內容等等。教學手段與教學目的和諧一致的原則是創造性教材使用的基本著眼點與歸宿。最后，希望教師們在創造性地使用教材的過程中獲得專業成長。一是廣泛吸收各種教材的精華與長處，進行合理整合，逐步形成自己的東西；二是結合個人教學經驗、研究成果和本地實際，嘗試編制富有時代氣息和地方特色的校本教材，從而進一步豐富和完善現行的教材體系。當教師在自己的教學活動中有了明顯的課程意識和研究、探索意識，教師就不再是普通的“教書匠”，而是已經步入到學者型、專家型的實踐研究者行列，其專業化教學水平必然得到全面發展與提高。

參考文獻：

[1]金立淑.指向最佳教學教學路徑[J].中學數學，2012，（10）.

[2]付宜紅.創造性的使用教材應注意的幾個問題[J].學科教育，2002，（12）.

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