到底怎樣的處理比較好

劉智強(qiáng)

近日里，教研組的同事要去參加市級(jí)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽，教學(xué)內(nèi)容是橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程第一課時(shí).在這節(jié)課的教學(xué)改進(jìn)過(guò)程中，圍繞著課題的引入、橢圓定義的發(fā)生、橢圓方程的推導(dǎo)、第二類(lèi)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)比導(dǎo)出、教科書(shū)例題的使用、課堂小結(jié)的內(nèi)容方式等環(huán)節(jié)的教學(xué)處理，教研組里的數(shù)學(xué)同伴展開(kāi)了激烈的爭(zhēng)論，對(duì)一些教學(xué)環(huán)節(jié)的處理意見(jiàn)，公說(shuō)公有理，婆說(shuō)婆有理，一時(shí)爭(zhēng)論不息.到底怎樣的教學(xué)處理比較好？它是否具有相對(duì)一定的準(zhǔn)則和規(guī)律？

1對(duì)于橢圓概念的教學(xué)，概念從哪里引入，如何自然地、“再創(chuàng)造”地發(fā)生在第一次教學(xué)中，教師一手拿著粗大的香腸，一手拿著閃亮的小刀，吆喝著讓學(xué)生上臺(tái)動(dòng)手斜切香腸，并請(qǐng)大家觀看其截面圖形來(lái)引入橢圓的課題，花費(fèi)了5分鐘時(shí)間，氣氛看似十分熱鬧，其實(shí)，這是胡鬧，完全沒(méi)有必要，因?yàn)閷?duì)于橢圓的圖形形狀，高中學(xué)生早已經(jīng)具有豐富的感性，這種切香腸的喧嘩只是教學(xué)的浪費(fèi).第二次，教師用細(xì)繩加筆尖，在黑板上畫(huà)出橢圓圖形，直接告訴學(xué)生圖形上的點(diǎn)所滿足的條件，給出橢圓定義，并用幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)顯示橢圓的扁圓程度，以此顯示來(lái)說(shuō)明2a>2c.第三次，教師設(shè)計(jì)了一組問(wèn)題：（1）取一條一定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端都固定在平面內(nèi)同一點(diǎn)處，套上筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，作出圖形.請(qǐng)大家思考，在這個(gè)過(guò)程中，筆尖（動(dòng)點(diǎn)）滿足的幾何條件是什么？（2）如果把細(xì)繩的兩端拉開(kāi)一段距離，分別固定在平面內(nèi)兩點(diǎn)處，套上筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，作出圖形.在這個(gè)過(guò)程中，筆尖（動(dòng)點(diǎn)）滿足的幾何條件又是什么？

（3）根據(jù)你在（2）中的觀察、發(fā)現(xiàn)，類(lèi)比圓的定義，提出橢圓定義？（4）在上述問(wèn)題（2）中，移動(dòng)筆尖，思考作出的圖形是否始終都是橢圓？請(qǐng)你給出條件？說(shuō)明理由.

對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生，尤其是數(shù)學(xué)核心概念、核心思想的發(fā)生教學(xué)，重要的是要追求其數(shù)學(xué)本質(zhì)的自然發(fā)生發(fā)展性.人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)》的主編寄語(yǔ)中指出：“數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的.如果有人感到某個(gè)概念不自然，是強(qiáng)加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過(guò)程，它的應(yīng)用，以及它與其它概念的聯(lián)系，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)它實(shí)際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味”.其次要讓學(xué)生在知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程中多些“再創(chuàng)造”的活動(dòng).荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（H.Freudenthal）認(rèn)為：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是讓學(xué)生進(jìn)行“再創(chuàng)造”，就是說(shuō)，由學(xué)生本人把學(xué)習(xí)的東西實(shí)現(xiàn)或創(chuàng)造出來(lái)，教師的任務(wù)是為學(xué)生的發(fā)展創(chuàng)造條件、引導(dǎo)探索.從教育心理角度講，所有的新知識(shí)、只有通過(guò)學(xué)生自身“再創(chuàng)造”，使其納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，才可能成為有效的知識(shí).再者“思維的教學(xué)”的基本方法，是以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程為載體，為學(xué)生的概括活動(dòng)搭建平臺(tái)，千方百計(jì)地給學(xué)生提供概括的機(jī)會(huì)，鍛煉學(xué)生的概括能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)概括.特別要注意在概括的關(guān)鍵環(huán)節(jié)上放手讓學(xué)生自主活動(dòng).

在這里老師設(shè)計(jì)了一組“問(wèn)題串”，用問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué).在這里橢圓由圓演化而來(lái)，圓扮演了橢圓教學(xué)的“先行組織者”的角色，在這里橢圓由細(xì)繩加筆尖的運(yùn)動(dòng)畫(huà)得，細(xì)繩加筆尖創(chuàng)設(shè)了自主探究的情境，在這里教師的“類(lèi)比圓的定義，提出橢圓定義”以及“圖形是否始終都是橢圓嗎？請(qǐng)你給出條件？”為學(xué)生的“再創(chuàng)造”提供了“腳手架”.

2對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，是一味由教師講、還是一味讓學(xué)生做，還是師生互動(dòng)、協(xié)同前進(jìn)第一次教學(xué)中，教師自己一講到底，看似很順利，學(xué)生表面上“一聽(tīng)就懂”，其實(shí)不會(huì)甚至“一做就錯(cuò)”.第二次，教師直接就放手讓學(xué)生自己去探究推導(dǎo)，由于學(xué)生的化簡(jiǎn)變形能力比較薄弱，結(jié)果花費(fèi)了20多分鐘還是不能奏效.第三次，教師用問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)教學(xué)，采用小步走，及時(shí)啟發(fā)嘗試反饋，強(qiáng)調(diào)師生對(duì)話互動(dòng)、強(qiáng)調(diào)學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”、強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的“說(shuō)數(shù)學(xué)”.

對(duì)于這樣一個(gè)具體內(nèi)容的教學(xué)方法的選擇，首先，要根據(jù)教材內(nèi)容的特點(diǎn)、地位，以及學(xué)生已有的知識(shí)、認(rèn)知水平，來(lái)理解教材、理解學(xué)生、進(jìn)而處理教學(xué).橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)是解析幾何的開(kāi)局之篇，它涉及到解析幾何的基本知識(shí)、基本思想方法，同時(shí)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，也有許多空前的，不具備的東西，特別是方程的化簡(jiǎn)變形.而在這里橢圓方程的推導(dǎo)，又是學(xué)習(xí)求曲線軌跡方程，以及式子運(yùn)算變形能力訓(xùn)練的重要載體，是本節(jié)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn).其次，課堂教學(xué)的有效、課堂教學(xué)的好壞、課堂教學(xué)的藝術(shù)，其標(biāo)準(zhǔn)在于是否恰當(dāng).教師一味地講解注入，學(xué)生缺少體驗(yàn)探究、缺少做題說(shuō)題，缺少構(gòu)建內(nèi)化，進(jìn)而不能真會(huì).一味讓學(xué)生自由探究，學(xué)生缺少啟發(fā)引導(dǎo)，缺少對(duì)話互動(dòng)，缺少及時(shí)糾錯(cuò)，進(jìn)而不能有效.課堂教學(xué)中必須注意教師主導(dǎo)取向的講授式與學(xué)生自主取向的活動(dòng)式的結(jié)合，而且注意使用“問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”的教學(xué) .在這里橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)教學(xué)，教師用“怎么建”，“嘗試推導(dǎo)”，“怎樣化簡(jiǎn)”，“ 回顧反思”，“錯(cuò)誤在哪”等，設(shè)問(wèn)引導(dǎo)，提供“腳手架”，學(xué)生動(dòng)手嘗試、玩“做數(shù)學(xué)”，教師學(xué)生對(duì)話互動(dòng)，協(xié)同攀升.再次，課堂教學(xué)需要講究效率，需要追求 45分鐘的經(jīng)濟(jì)和性價(jià)比.這里選擇的教學(xué)處理，既能控制時(shí)間，完成教學(xué)內(nèi)容，又使學(xué)生學(xué)會(huì)、會(huì)學(xué)，以至真的會(huì).

3對(duì)于橢圓第二類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)特點(diǎn)的教學(xué)，在方式上，是教師直接一起呈現(xiàn)全部結(jié)果，還是讓學(xué)生通過(guò)類(lèi)比發(fā)現(xiàn)，表格化，逐個(gè)呈現(xiàn)

在第一次教學(xué)中，教師是比較隨意的、散狀的、直接告訴結(jié)果.第二次，教師把第二類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)方程以及性質(zhì)特點(diǎn)，列成表格，把全部結(jié)果一起呈現(xiàn)給學(xué)生.第三次，教師設(shè)計(jì)了一組問(wèn)題，（1）在如下表格中，已知橢圓第一類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)方程，請(qǐng)你填上其對(duì)應(yīng)的圖形、a，b，c關(guān)系、焦點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)所在軸位置.（2）如果在第一列的表格中變換已知條件，你能填寫(xiě)出其它空格結(jié)果嗎？（3）如果橢圓圖形坐標(biāo)建立在y軸上，請(qǐng)類(lèi)比第一類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)方程，在表格中填上第二類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)應(yīng)的結(jié)果.（4）如果不用類(lèi)比的方法，你是怎樣做？表格如下：

對(duì)于一個(gè)具體內(nèi)容的教學(xué)處理與教法選擇，包括其呈現(xiàn)方式這樣的細(xì)節(jié)問(wèn)題.還必須根據(jù)其教學(xué)目標(biāo)，顯性的目標(biāo)和隱性的目標(biāo).在這里，及時(shí)在推導(dǎo)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究焦點(diǎn)在x軸上的橢圓基本特點(diǎn)，包括標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形位置、a，b，c關(guān)系、焦點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)位置等之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)換.并且通過(guò)類(lèi)比思想方法，得到焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其基本特點(diǎn).讓學(xué)生體會(huì)對(duì)稱的思想及數(shù)學(xué)的美感，學(xué)會(huì)運(yùn)用類(lèi)比的方法，進(jìn)行觀察、歸納能力的訓(xùn)練.同時(shí)，還應(yīng)該講究教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式和呈現(xiàn)次序.在這里，教師不是簡(jiǎn)單地，把反映兩類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)方程及其基本特點(diǎn)的整張表格內(nèi)容結(jié)果，直接地、全部地、一下子呈現(xiàn)給學(xué)生，而是設(shè)計(jì)了一組問(wèn)題，在學(xué)生充分思考后，填空式地、逐一地把內(nèi)容呈現(xiàn)出來(lái).在這里，對(duì)教學(xué)方式作了表格化、逐一呈現(xiàn)，這樣一個(gè)小小細(xì)節(jié)的處理，卻給學(xué)生帶來(lái)了大大的思維空間和“再創(chuàng)造”的機(jī)會(huì).在這里，通過(guò)上述四個(gè)一組的問(wèn)題思考，以及對(duì)上述表格的填空，讓學(xué)生經(jīng)歷橫向兩類(lèi)類(lèi)比、縱向圖式轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，使學(xué)生有了更多發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的機(jī)會(huì).

4教科書(shū)上的例題是否一定必須用，怎樣規(guī)范用、變式用，教科書(shū)上例題的示范引領(lǐng)作用是什么

第一次教學(xué)設(shè)計(jì)中，上課教師沒(méi)有用課本上的例題，理由是這個(gè)例題太簡(jiǎn)單，換用了其它教學(xué)輔導(dǎo)資料中的稍難的題目.第二次，教師用了課本上的例題，但只是口頭地、直接地給出答案，一筆帶過(guò).第三次，教師使用了課本例題，在對(duì)其充分示范引導(dǎo)后，對(duì)其進(jìn)行了變式和拓展.

對(duì)于教科書(shū)上例題的教學(xué)使用，必須用、規(guī)范用、變式用.首先，教科書(shū)的例題是教材核心內(nèi)容程序化的展現(xiàn)，既是教師教的范例，也是這部分知識(shí)內(nèi)容的“最佳原形”.其次，教科書(shū)的例題一般是在講述了某個(gè)概念和命題后給出的，其目的就是利用例題來(lái)示范引領(lǐng)學(xué)習(xí)者，如何運(yùn)用所學(xué)新知識(shí)分析解決實(shí)際問(wèn)題.包括新知識(shí)應(yīng)用的示范引領(lǐng)，解題程序與表述規(guī)范的示范引領(lǐng)，以及如何解題的示范引領(lǐng).教科書(shū)例題的表達(dá)簡(jiǎn)潔、明了，為學(xué)生課后解答習(xí)題的表述提供了樣板，使其養(yǎng)成良好的書(shū)寫(xiě)和表達(dá)的習(xí)慣.再者，只有在充分利用和發(fā)揮了教科書(shū)的例題的教學(xué)功能的前提下，學(xué)生在頭腦中有了“最佳原形”后，才能有效地對(duì)教科書(shū)上的例題進(jìn)行變式和拓展，使之更加全面、深刻、系統(tǒng).

在這節(jié)課里，教科書(shū)上的例題1：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2，0）、（2，0），，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.這是教學(xué)內(nèi)容的“最佳原形”，它包含了橢圓定義，標(biāo)準(zhǔn)方程、a，b，c關(guān)系等知識(shí)內(nèi)容，包括了待定系數(shù)、解析思想、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，也示范了解題程序和格式.在此基礎(chǔ)上，將其變式為：（1）已知兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2，0）、（2，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和等于8，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）已知兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為4，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離和等于8，結(jié)果如何？這樣圍繞這節(jié)課的核心概念、數(shù)學(xué)核心思想，通過(guò)例題示范及變式練習(xí)，達(dá)到一題變一簇，一題串一簇、一題聯(lián)一線的境地.

到底怎樣的教學(xué)處理比較好？只有在充分理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)的基礎(chǔ)上，圍繞數(shù)學(xué)核心概念、核心思想的本質(zhì)，去設(shè)計(jì)、去選擇、去處理教學(xué)，追求自然、本質(zhì)、簡(jiǎn)約，追求精講、多做、高效，達(dá)到抓得住、講得清、做得會(huì)，才能比較好地把握教材的處理.