對(duì)常微分方程的穩(wěn)定性分析

馮立邱

摘 要：穩(wěn)定性理論是微分方程的一個(gè)重要分支，是由研究運(yùn)動(dòng)問(wèn)題而發(fā)展起來(lái)的，就常微分方程的穩(wěn)定性進(jìn)行進(jìn)一步的分析.

關(guān)鍵詞：常微分方程；穩(wěn)定性；李雅普諾夫函數(shù)

Abstract：Stability theory is a important part of differential equation，is developed by researching into the athletics problem. In this paper is the further analysis of ordinary differential equations stability.

Keywords： ordinary differential equation；Stability theory；Lyapunov function

穩(wěn)定性理論是19世紀(jì)80年代由俄國(guó)數(shù)學(xué)家李雅普諾夫[1]創(chuàng)建的.穩(wěn)定性理論在自動(dòng)控制、航天技術(shù)、生態(tài)生物、生化反應(yīng)等自然科學(xué)和工程技術(shù)等方面有著廣泛的應(yīng)用[2]，其概念和理論發(fā)展十分迅速，本文中構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)來(lái)判定常微分方程的穩(wěn)定性.

一、李雅普諾夫函數(shù)介紹[3]

考慮集合w■Rn，f：w→Rn連續(xù)可微。■∈W，■是系統(tǒng)■=f（x）（1）的平衡點(diǎn).

定理1：如果U是■的領(lǐng)域，U■W有函數(shù)V：U→R，在U上連續(xù)，在U-■上可微，滿足

（1）V（■）=0；V（x）>0，當(dāng)x≠■

（2）V=■V（x（t））≤0，當(dāng)x≠■，其中x（t）是系統(tǒng)（1）的軌線，則■是穩(wěn)定的.

（3）若函數(shù)V還滿足V<0，當(dāng)x≠■，則■是接近穩(wěn)定的.

函數(shù)V滿足（1）（2），V就叫做■的李雅普諾夫函數(shù)；若還滿足（3）就叫做嚴(yán)格單調(diào)的李雅普諾夫函數(shù)。這個(gè)定理叫李雅普諾夫穩(wěn)定性定理.

二、常微分系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

處理常系數(shù)線性系統(tǒng)二次型的方法，可以推廣到某些非自治和非線性系統(tǒng)（對(duì)非線性系統(tǒng)）

■A（t）x （2）

取二次型V（t，x）=xiB（t）x作為李雅普諾夫函數(shù)，其中B（t）=（bij（t））n×m是可微矩陣。沿著（1）式的解，曲線計(jì)算V（t，x）的全導(dǎo)數(shù)得■（t，x）=xi■+Ai（t）B（t）+B（t）A（T）x

為了判定（2）式零解的穩(wěn)定性，我們可以對(duì)給出的矩陣C（t）來(lái)求解下面的矩陣微分方程

■+Ai（t）B（t）+B（t）A（t）=C（t） （3）

適當(dāng)選取C（t）后解出B（t），就能判定（1）式零解的穩(wěn)定性.

例∶線形類(lèi)比法

線性類(lèi)比法是將一些非線性系統(tǒng)形式地當(dāng)作線性系統(tǒng)，用類(lèi)比的方法構(gòu)造出需要的李雅普諾夫函數(shù).

設(shè)f（x1）連續(xù)可導(dǎo)， f（0）=0討論系統(tǒng)

■=f（x1）+a12 x2■=a21x1+a22 x2 （4）零解的穩(wěn)定性.

系統(tǒng)的特征方程為λ2-（a11+a22）λ+a11a22-a12a21=0.

容易看出，當(dāng)a11+a22<0，a11a22-a12 a21>0時(shí)，特征方程的兩個(gè)根都有負(fù)實(shí)部，（4）式的零解是漸近穩(wěn)定的，非線性系統(tǒng)（4）式無(wú)法用特征根的方法判定，但可以用類(lèi)似于線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)去判斷其穩(wěn)定性，事實(shí)上對(duì)（4）式取v′（x1，x2）=（a11+a22）（a11a22-a12 a21）x12，則它的半負(fù)定的函數(shù)，利用巴爾巴欣公式得v（x1，x2）=■（a11a22-a11a22）x12+■（a22 x1-a12x2）2

v（x1，x2）是正定函數(shù)，所以（7）式的解是穩(wěn)定的，由此類(lèi)比構(gòu)造與線性系統(tǒng)類(lèi)似的V函數(shù)

V（x1，x2）=■■a22-a12 a21x1dx1+■（a22 x1-a12 x2）2

V（x1，x2）正定，計(jì)算導(dǎo)數(shù)得小于等于0.

所以（4）式的零解是穩(wěn)定的.

三、結(jié)論

1.在使用李雅普諾夫函數(shù)判定穩(wěn)定性時(shí)，當(dāng)我們找不到滿足穩(wěn)定性定理?xiàng)l件的函數(shù)V（x）時(shí)，我們無(wú)法斷定零解是否穩(wěn)定的，其構(gòu)造的李雅普諾夫函數(shù)不同時(shí)，判定零解是否漸近穩(wěn)定及吸引域的大小也會(huì)有差異.

2.在利用李雅普諾夫方法判定穩(wěn)定性時(shí)，一個(gè)問(wèn)題是滿足一定條件的李雅普諾夫函數(shù)是否存在及當(dāng)系統(tǒng)的零解有某種穩(wěn)定性時(shí)，滿足這個(gè)穩(wěn)定性的V（x）是否存在.

參考文獻(xiàn)：

[1]蔡燧林.常微分方程[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2003.

[2]丁同仁.常微分方程定性方法的應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]馬知恩，周義倉(cāng).常微分方程定性與穩(wěn)定性方法[M].北京：科學(xué)出版社，2001.

[4]張慶靈.廣義系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的李亞譜諾夫方法[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，1994，14（02）：117-120.

（作者單位 遼寧省阜新市細(xì)河區(qū)職業(yè)教育中心）