對常微分方程的穩定性分析

馮立邱

摘 要：穩定性理論是微分方程的一個重要分支，是由研究運動問題而發展起來的，就常微分方程的穩定性進行進一步的分析.

關鍵詞：常微分方程；穩定性；李雅普諾夫函數

Abstract：Stability theory is a important part of differential equation，is developed by researching into the athletics problem. In this paper is the further analysis of ordinary differential equations stability.

Keywords： ordinary differential equation；Stability theory；Lyapunov function

穩定性理論是19世紀80年代由俄國數學家李雅普諾夫[1]創建的.穩定性理論在自動控制、航天技術、生態生物、生化反應等自然科學和工程技術等方面有著廣泛的應用[2]，其概念和理論發展十分迅速，本文中構造李雅普諾夫函數來判定常微分方程的穩定性.

一、李雅普諾夫函數介紹[3]

考慮集合w■Rn，f：w→Rn連續可微。■∈W，■是系統■=f（x）（1）的平衡點.

定理1：如果U是■的領域，U■W有函數V：U→R，在U上連續，在U-■上可微，滿足

（1）V（■）=0；V（x）>0，當x≠■

（2）V=■V（x（t））≤0，當x≠■，其中x（t）是系統（1）的軌線，則■是穩定的.

（3）若函數V還滿足V<0，當x≠■，則■是接近穩定的.

函數V滿足（1）（2），V就叫做■的李雅普諾夫函數；若還滿足（3）就叫做嚴格單調的李雅普諾夫函數。這個定理叫李雅普諾夫穩定性定理.

二、常微分系統穩定性分析

處理常系數線性系統二次型的方法，可以推廣到某些非自治和非線性系統（對非線性系統）

■A（t）x （2）

取二次型V（t，x）=xiB（t）x作為李雅普諾夫函數，其中B（t）=（bij（t））n×m是可微矩陣。沿著（1）式的解，曲線計算V（t，x）的全導數得■（t，x）=xi■+Ai（t）B（t）+B（t）A（T）x

為了判定（2）式零解的穩定性，我們可以對給出的矩陣C（t）來求解下面的矩陣微分方程

■+Ai（t）B（t）+B（t）A（t）=C（t） （3）

適當選取C（t）后解出B（t），就能判定（1）式零解的穩定性.

例∶線形類比法

線性類比法是將一些非線性系統形式地當作線性系統，用類比的方法構造出需要的李雅普諾夫函數.

設f（x1）連續可導， f（0）=0討論系統

■=f（x1）+a12 x2■=a21x1+a22 x2 （4）零解的穩定性.

系統的特征方程為λ2-（a11+a22）λ+a11a22-a12a21=0.

容易看出，當a11+a22<0，a11a22-a12 a21>0時，特征方程的兩個根都有負實部，（4）式的零解是漸近穩定的，非線性系統（4）式無法用特征根的方法判定，但可以用類似于線性系統的李雅普諾夫函數去判斷其穩定性，事實上對（4）式取v′（x1，x2）=（a11+a22）（a11a22-a12 a21）x12，則它的半負定的函數，利用巴爾巴欣公式得v（x1，x2）=■（a11a22-a11a22）x12+■（a22 x1-a12x2）2

v（x1，x2）是正定函數，所以（7）式的解是穩定的，由此類比構造與線性系統類似的V函數

V（x1，x2）=■■a22-a12 a21x1dx1+■（a22 x1-a12 x2）2

V（x1，x2）正定，計算導數得小于等于0.

所以（4）式的零解是穩定的.

三、結論

1.在使用李雅普諾夫函數判定穩定性時，當我們找不到滿足穩定性定理條件的函數V（x）時，我們無法斷定零解是否穩定的，其構造的李雅普諾夫函數不同時，判定零解是否漸近穩定及吸引域的大小也會有差異.

2.在利用李雅普諾夫方法判定穩定性時，一個問題是滿足一定條件的李雅普諾夫函數是否存在及當系統的零解有某種穩定性時，滿足這個穩定性的V（x）是否存在.

參考文獻：

[1]蔡燧林.常微分方程[M].武漢：武漢大學出版社，2003.

[2]丁同仁.常微分方程定性方法的應用[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]馬知恩，周義倉.常微分方程定性與穩定性方法[M].北京：科學出版社，2001.

[4]張慶靈.廣義系統結構穩定的李亞譜諾夫方法[J].系統科學與數學，1994，14（02）：117-120.

（作者單位 遼寧省阜新市細河區職業教育中心）