對幾何概率的一點補充

彭國勇

摘 要：高中教材自改革以來，反映良好，其中主要一個方面就是更體現以學生為主體，更有利于開發學生的思維和潛能.幾何概率作為新加的內容，就很好地印證了這一點.為學生更好地理解和應用數學開拓了廣闊的空間.

關鍵詞：幾何概率；貝特朗問題；不同角度

由于幾何概率被引入了高中教材，因此掌握一些基本的方法來構建幾何概率的平面區域至關重要，此外，對師生的視野拓展也有裨益，但是，對有些幾何概率問題，會出現意想不到的矛盾.例如：

問題：在等腰Rt△ABC中，在斜邊AB上取一點M，求AM的長小于AC的長的概率.

分析1：點M隨機地落在線段AB上，故線段AB為試驗所有結果構成的區域.如圖1，當點M位于線段AC′上時，AM

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圖1 圖2

∴在AB上截取AC′=AC

∴P（AM

分析2：過直角頂點C在∠ACB內部任作一條射線，射線交AB于點M，則CM在∠ACB內是等可能分布的，如圖2.

∴∠ACC′=■=■π

∴P（AM

由以上分析1與分析2看出，從不同的角度出發，所得出的結果就會不同，這是幾何概率中一個很有趣的問題——貝特朗悖論.

（貝特朗問題）：在圓內任作一弦，其長度超過圓內接等邊三角形的邊長的概率是多少？

解：取單位圓O，其內接等邊三角形的邊長是■，取圓O的任一弦AB，記“AB>■”的事件為A.

方法1：如圖3，作垂直于AB的直徑PQ，分別以P、Q為頂點作圓的內接等邊三角形，這兩個三角形的邊與PQ交于M、N，當AB與PQ的交點位于MN上時，AB>■；由于MN=■PQ，故P（A）=■.

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圖3 圖4

方法2：如圖4，連接AO，在AO兩側作∠MAO=∠NAO=30°，交圓O于M、N，當B點落在∠MAO所夾弧MN上時，AB>■，

弧MN的長度是圓周長的■，故P（A）=■.

方法3：如圖5，在圓O內任取一點M，若OM<■，則以M為中點的弦AB>■，故M點在以O為圓心，■為半徑的圓內，而小圓的面積是大圓面積的■，故P（A）=■.

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圖5 圖6

方法4：如圖6，過A作直徑AD，在AD上取一點M，使AM=■，對于任一弦AB，在AD上取AB′=AB，當B′落在MD上時，AB>■，由于MD=2-■，故P（A）=■.

以上問題就是貝特朗問題，它在1933年由前蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫解決，他建立了在測度論基礎上的概率論公理系統.有興趣的讀者可參閱高等教育出版社1984年版的高等學校試用教材《概率論與數理統計》一書，作者周樹容.

（作者單位 江西省吉安縣第二中學）