直線的“對稱問題”

宋玉芳

摘 要：重點講述直線相關的四種對稱.

關鍵詞：點關于點的對稱問題；直線關于點的對稱問題；點關于直線的對稱問題；直線關于直線的對稱問題

對稱問題是直線部分的重要內容。它既是前面學過的任意點關于特殊線（坐標軸或象限的角平分線）的對稱問題的延伸，也是今后學習曲線對稱問題的基礎。在這里我將舉例說明。

一、點關于點的對稱問題

例1.已知A（2，4），B（6，6），試求A點關于B點的對稱點C的坐標.

分析：設C（x，y），由中點坐標公式得C（10，8）.

二、直線關于點的對稱問題

求直線l1關于點P（x，y）的對稱直線.

解法一：在l1上任取兩點A，B.分別求A，B關于點P的對稱點 A′，B′，由兩點式得直線l2方程.

解法二（相關點法）：在直線l2上任取一點M（x，y），求點M關于點P的對稱點坐標.并把對稱點坐標帶入l1方程，即得直線l2方程.

例2.求直線3x-y-4=0關于點P（1，-1）的對稱直線L的方程.

解：設直線L上任意點M（x，y），點M關于點P的對稱點（2-x，-2-y）在直線3x-y-4=0上.

所以，3（2-x）-（-2-y）-4=0.

即3x-y-4=0.

所求直線L的方程為3x-y-4=0.

三、點關于直線的對稱問題

分析：求點關于直線的對稱問題，主要利用垂直平分線的性質.

例3.求點A（2，2）關于直線2x-4y+9=0的對稱點A′（a，b）坐標.

解：因為AA′的中點M在直線上，且AA′與直線垂直.解方程組得a=1，b=4.

所以A′點的坐標為（1，4）.

四、直線關于直線的對稱問題

求直線l1關于直線l2的對稱直線l3 .

相關點法：在直線l3上任取一點A（x，y），求出點A關于直線 l2的對稱點A′的坐標，并將其代入直線l1方程，就得到了直線l3的方程。

例4.求直線2x-y+3=0關于直線3x-y+2=0的對稱直線方程.

解：解方程組2x-y+3=0 3x-y+2=0得x=1y=5

利用到角公式求直線斜率得k=■.

所以直線方程為11x-2y-1=0.

（作者單位 河南省濮陽市第一高級中學）