中學生數學解題后的反思

俞征

摘 要：中學生在數學學習和解題的過程中出現錯誤，是一種非常自然的現象。但教師必須要引導學生訂正錯誤，并增強學生的糾錯能力，盡量減少錯誤的產生。以一個案例作為窗口，分析中學生產生解題錯誤的原因及反思數學教學過程。

關鍵詞：數學解題錯誤；回顧與反思；教學過程

一、案例

在高一數學學習必修5《數列》有關知識中，經常利用公式an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2來求數列的通項公式，教師每次在講到這個公式的時候，都強調不要忘了n=1的情況，但總會發現學生在做作業和測試過程中做到相關題目時不是忘記了這個公式，就是忽略了n=1的情況。到了高三復習階段，這個問題還是不時出現。在一次測試中，碰到一類似題目：已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn=n2+n+1（n∈N*），求該數列的通項公式。全班參加考試48人，有33人解錯，其中24人的答案是an=2n（n∈N*）。為了分析他們解題錯誤的原因，筆者請全班該題解錯的學生說出原因，同時對于解題正確的學生追問：你為什么想到對n進行討論？以下是具有代表性的部分學生的情況反饋。

學生1：這道題中的公式我都不知道是怎么來的，做的題也不多，所以碰到這道題目時，腦袋一片空白。

學生2：這道題目一開始我就以為數列{an}是等差數列，所以就根本沒想到這條公式。

學生3：平時也沒注意到還有n=1這種情況的。

學生4：我心里是知道要分類討論的，可當時不知道格式該怎么寫，然后又不知道怎么想的，就沒考慮到n=1這種情況了。

……

二、學生解題錯誤的原因

分析了學生的反饋情況，筆者感慨萬千，相信學生解題錯誤也是很多中學數學教師教學過程中非常頭疼的一件事。為了能“對癥下藥”地糾錯，就非常有必要分析解題錯誤形成的原因。筆者認為，造成高中學生解題錯誤的原因大致有以下幾個方面：

1.曲解題意的錯誤

理解題意即審題，這是解答數學的第一步，也是最重要的一個環節，是整個解題過程的基礎。但這個環節卻常常被學生所忽視，往往匆匆讀題后就急于下手，這樣解題極易出錯。高中生曲解題意的錯誤常常表現為以下幾個方面：

（1）概念、定理模糊不清。

（2）錯誤地增添潛在假設。實際上，在不改變題意的前提下，增加一點條件會使得問題更容易求解，即有效增設，有時會給解題帶來“柳暗花明又一村”的效果，但是若錯誤地增添條件，便會引起解題錯誤。

（3）形式地記憶公式、定理，對其本質缺乏深刻理解，因此生硬地套用公式造成解題錯誤。如，大多學生只記得an=Sn-Sn-1，而忽略了n=1這種情況。

（4）隱含條件沒有充分挖掘等。

2.解題策略的錯誤

在一般的解題過程中，探索解題途徑是非常重要但也是最困難的一個環節。有時候，由于解題方向上的偏差，造成思路受阻或解題長度過大，產生多余的思維回路，即使做對了也費時費事。解題策略的錯誤經常表現為缺乏整體觀念、受思維定式的負面影響等。

三、反思

1.數學教學要注重學生的學習過程

在教學過程中，大多數教師在課堂上就教材的數學成分反復講解、舉例說明，把教學內容中的重點、難點以及學生中容易出現的錯誤都嚼爛喂給學生，以求消除學生理解這些教材的困難。雖然有些教師在課堂教學上設置了探究環節，但由于受課堂時間等因素的制約，這些環節也還是以教師牽引式為主，學生主動思考少，更談不上自主發現，因而也不理解這些知識與方法的來龍去脈，有些學生即使記住了公式也是一知半解。因此，無論是新課還是復習課，教師應重視學生的學習過程，重視學生的數學經歷與體驗，讓其體會知識蘊涵的數學思想方法與魅力，并提高學生的自主學習能力、探究合作能力等，以減少數學錯誤的發生。

2.讓學生的“錯誤”暴露在陽光下

“失敗乃成功之母”“錯誤是正確的先導”，學生在解題時，由于基礎不扎實或思維上的偏差，常常會出現各種各樣的錯誤。而很多教師為了避免學生在口頭回答問題、課堂練習、課后作業中出錯，經常會向學生提示或先分析題目中容易出錯的環節。相信教師的出發點是為了減少學生在本次練習中的錯誤率，但從本質上卻是增加了以后解題出錯的可能性。這樣做的另一個弊端是抹殺了學生學習的主動性，也掩蓋了學生掌握知識情況的真實性。所以教師若能經常有效創設糾錯情節，讓學生的錯誤暴露在自己面前，引導學生分析錯誤的原因，尋找治錯的“良藥”，效果會比教師反復強調要好很多。

3.重視解題回顧與反思

有些學生不太注意檢驗解題結果的正確性，常常只要一解完題就如釋重負，萬事大吉了，沒有養成這種思考與驗證的習慣。這就直接導致了部分學生在考試過程中會做的題得不了分。而實際情況中，檢查有無疏漏、差錯和筆誤是非常必要的，如，分式方程、應用題等都少不了檢驗這一環節。養成解題回顧與反思的好習慣，不僅可以使我們避免一些不必要的錯誤，而且可以使我們對問題有深刻的認識，并加強我們對解決問題的信任度，取得融會貫通、舉一反三的效果。作為教師，不但要指導學生積累解題經驗，更要教學生如何積累解題回顧與反思經驗，而有些教師自己本身都忽視了解題檢驗這一環節。教師應在平時教學中滲入一些解題檢驗方法：復查核對、代入檢驗、多解對照、逆向運算、觀測估值、特例檢驗、數形結合等。

經過以上的分析可以看出，學生的解題過程出現錯誤是不可避免的，但我們可以通過一些措施減少錯誤的發生。而如何有效地控制錯誤、減少解題錯誤是一個艱巨的系統工程，要花長時間去探索與研究，這還有待于所有教育工作者的共同努力。

參考文獻：

[1]羅增儒.數學解題學引論.陜西師范大學出版社，2004-07.

[2]劉新春.一個解題錯誤的案例分析.中學數學教學參考，2008（09）.

[3]向正凡.辨析中學生數學解題錯誤與培養數學解題能力的研究[D].湖南師范大學.

（作者單位 浙江省舟山市普陀區六橫中學）