淺談構(gòu)造法在解題中的運(yùn)用

章顯軍

摘 要：新課改明確要求教師必須在教學(xué)中逐步培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新的意識(shí)和精神，因此構(gòu)造和創(chuàng)新是數(shù)學(xué)教育始終培養(yǎng)的綜合目標(biāo)，構(gòu)造能力也是學(xué)生必須具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。這就要求學(xué)生掌握滲透于數(shù)學(xué)知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想方法，使他們能用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決問(wèn)題。構(gòu)造法是屬于非常規(guī)思維，其本質(zhì)特征是“構(gòu)造”。“構(gòu)造法”作為一種重要的化歸手段，在數(shù)學(xué)解題中有著重要的作用。從“構(gòu)造函數(shù)”“構(gòu)造方程”等常見(jiàn)構(gòu)造多個(gè)角度舉例說(shuō)明應(yīng)用構(gòu)造法解題的基本構(gòu)思途徑。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法；函數(shù)；方程；解題

一、構(gòu)造函數(shù)

例1.設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式：

（x-1）3+1997（x-1）=-1（y-1）3+1997（y-1）=1

則x+y= 。

分析：此題若用常規(guī)解方程方法，分別求出x和y的值后再求x+y則非常困難，因?yàn)槿畏匠探夥ㄎ覀儾⒉皇煜ぁＨ绻覀冏⒁獾椒匠探M中兩個(gè)方程的結(jié)構(gòu)非常相似，即（x-1）3+1997（x-1）= （1-y）3+1997（1-y）=1，我們應(yīng)該能夠想到構(gòu)造函數(shù)f（t）=t3+1997t，所以f′（t）=3t2+1997>0。

解：構(gòu)造函數(shù)f′（t）=3t2+1997，所以f′（t）=3t2+1997>0恒成立，

因此，函數(shù)f（t）=t3+1997t在R上為增函數(shù)，所以f（x-1）=f（1-y）=1，所以x-1=1-y，即x+y=2。

指出：此題利用函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)值的關(guān)系巧妙地得到兩個(gè)未知量的等量關(guān)系，從而使問(wèn)題迎刃而解。

二、構(gòu)造方程

例2.已知p3+q3=2，求證：p+q≤2。

分析：此題條件是等式，結(jié)論是不等式，若直接從等式過(guò)渡到不等式比較困難，若我們把p+q看作一個(gè)整體變量，則pq就可以用這個(gè)變量表示，由韋達(dá)定理可以構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根分別為p和q，再根據(jù)判別式可求出p+q的范圍。

解：設(shè)p+q=k，因?yàn)閜3+q3=（p+q）（p2-pq+q2）=2>0，

而p2-pq+q2>0恒成立，

則p+q=k>0，根據(jù)條件易求得：pq=■

構(gòu)造方程x2-kx+■=0，易知方程的兩個(gè)根就是p和q，

所以判別式Δ=k2-■≥0，解得：k≤2，即p+q≤2。

指出：此題通過(guò)構(gòu)造方程設(shè)法構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，使p和q以其系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)的面目出現(xiàn)，再由Δ≥0得到不等式。

三、構(gòu)造圖形

例3.已知x，y，z∈（0，1），求證：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1。

分析：初看此題，不等式中含有三個(gè)變量，直接證明，比較棘手。我們仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)不等式的左邊是三個(gè)兩項(xiàng)積的和，兩項(xiàng)的乘積聯(lián)系幾何中的知識(shí)就很容易聯(lián)想到三角形的面積。

證明：構(gòu)造等邊三角形ABC，且邊長(zhǎng)為1，設(shè)P、Q、R分別為AB、BC、AC上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），設(shè)AP=x，BQ=z，CR=y，如圖所示：根據(jù)三角形面積公式可得：

■

則S△APR=■AP·ARsin60°=■x（1-y）

S△CQR=■CR·CQsin60°=■y（1-z）

S△BPQ=■BQ·BPsin60°=■z（1-x）

又因?yàn)镾△APR+S△CQR+S△BPQ

所以■x（1-y）+■y（1-z）+■z（1-x）<■

即x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1

總之，構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，一種數(shù)學(xué)方法形式的構(gòu)造決不是單一的思維方式，而是多種思維方式交叉融匯在一起共同作用的結(jié)果。構(gòu)造的形式多種多樣，還有構(gòu)造向量、構(gòu)造數(shù)列等，這里我們不再一一列舉了。通過(guò)對(duì)以上例題的分析，不難看出，構(gòu)造法對(duì)增強(qiáng)解題能力、培養(yǎng)思維品質(zhì)有著不可低估的作用。數(shù)學(xué)的魅力在于追求簡(jiǎn)單，而解題中的巧妙構(gòu)造，往往有化繁瑣為簡(jiǎn)潔之功效，是對(duì)數(shù)學(xué)美最好不過(guò)的一次注釋。

參考文獻(xiàn)：

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[3]宋玉連.構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用芻議.連云港教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1999（2）.

（作者單位 浙江省蒼南縣錢庫(kù)高級(jí)中學(xué)）