重視數學思想教學 關注學生發展

馬贊

綦春霞，北京師范大學教育學部課程與教學研究院副院長，教授，博士生導師。全國教育學會課程專業委員會常務理事，全國教育學會基礎教育評價專業委員會常委理事，全美教育研究會理事。國家義務教育數學課程標準研制組核心成員。

《中國教師》：2011年版課程標準有一個十分明顯的變化，即在課程目標中明確提出“四基”，除了教師熟悉的“雙基”（基礎知識、基礎技能）外，還增加了“基本思想”“基本活動經驗”。您能否為大家談一談什么是數學的基本思想與基本活動經驗，如何將其貫穿于數學教學活動之中？

綦春霞：其實，課程標準實驗稿中，就已經關注了學生的基本思想與活動經驗等內容，只是隱含在課程目標的基本知識之中，而沒有作為一條明線凸顯出來。本次課程標準修訂中，“基本思想”“基本活動經驗”被單獨提了出來，我覺得是很有必要的。

經歷十年課改之后，無論是在學術界，還是在教學實踐中，大家對學生主體、對教育的認識已有很大改觀。大家已經意識到僅僅關注知識技能是不夠的，必須考慮人的因素，發展學生的數學素養，增加人的活動經驗這部分內容。

另外，“基本思想”這部分內容是我們國家比較有特色的方面。早在20世紀80年代，數學界就針對相關的數學思想進行了深入持續的探討。這方面的理論研究成果甚至比國外還要多。因此，基于理論研究的工作與十年課改的成果，課程標準中增添了“基本思想”“基本活動經驗”這兩部分內容。“基本思想”突出了數學的本質，“基本活動經驗”突出了學生主體，這兩個方面結合在一起，就是要求教師在關注知識技能的同時，更好地關注學生。

課程標準中雖然沒有明確指出“基本思想”所包含的內容，但是在課程標準解讀中，課程標準的負責人、原東北師范大學校長史寧中教授提到了三個主要的數學思想，即抽象、推理和模型。這是數學最本質的內容，在這之下又衍伸出一系列結合具體內容的方法。盡管目前還沒有統一的說法，但是教師們都意識到了，數學思想的教學是數學教學的核心。

“基本活動經驗”可以用幾個核心詞來表達：關注學生主體，既然是經驗，那既包括結果性的經驗，也包括過程性的經驗，而這些都是與學生活動結合在一起的；突出活動性，這就要求教師從學生的角度去設計一系列的、有學生參與的、動手與動腦的活動，如果教學環節中沒有學生活動，沒有學生的參與，那就沒有達成課程目標的要求。從這個角度看，課程標準強化了學生參與這部分內容。

那么，如何將課程目標體現在數學教學活動中呢？

首先，教師要清楚“基本活動經驗”包括哪些內容。既然我們把它作為課程教學的一項目標，那它應該是與知識相關的一些經驗，如學生在學習“分式”時，肯定有“分數”的知識經驗作鋪墊，原有的知識經驗會對現在學習的內容有遷移的作用，而教師就應該激活學生原有的知識經驗，使其與現有的學習內容結合起來。

其次，教師應該讓學生動手操作。以“變換”教學內容為例，這部分內容的學習必須是經過學生動手操作來完成的。否則，學生根本不能把握圖形變換之后會有哪些性質。因此，教師必須關注學生具體操作方面的內容。

課改以后，部分教師與家長有這樣一種認識：數學課是活躍了起來，但好像成了動手課、手工課。其實，教師應該關注學生活動背后的意義，讓學生動手的同時更要動腦。比如，教師在學生觀察圖形的折痕、移動的痕跡時，應該清楚這些痕跡恰恰就是后面課程探索圖形性質中的輔助線，應該注意將學生的直觀印象轉化成抽象的、思維層面的經驗。這樣，學生在學習到相關內容時，就會很自然地借鑒以前的活動經驗。所以，我們更應該關注如何讓學生掌握思維層面的經驗，這是教學活動中一個很重要的學習目標。

最后，大家應該注意，基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗四者不是孤立存在的，在課程目標中是一體的。基礎知識既可以看成是結果性的知識，也可以看成是認識性的知識，即轉化成了學生的活動經驗；將基本技能再進一步提升就歸納出上位的思想與方法。

《中國教師》：課程標準在課程內容中提出了與四個學習領域相關的10個核心概念：數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想以及應用意識和創新意識。這些核心概念與數學課程內容有什么樣的聯系，學生怎樣才能建立起數學核心概念？

綦春霞：核心概念是很重要的，它們是整個課程標準內容體系的核心點。真正理解了這10個核心點，有助于更深刻地理解課程標準的內容。

核心概念在教學中的位置是不同的。一部分核心概念，如數感、符號意識、運算能力與“數與代數”的關系很緊密，所以，教師們在講到“數與代數”的時候，心里要想著自己的課堂教學是否關注了學生數感、符號意識的形成，是否有利于培養學生的運算能力。以數感為例，小學階段主要學習的是小數、分數，初中就涉及了有理數、實數，到了高中還增加了負數，那么，學生對于數的認識、數的運算以及數的一些估算等都涉及數感是否好的問題。

還有一部分內容是與“圖形與幾何”緊密結合的。如，幾何直觀會有所涉及，但主要是空間觀念和推理能力。空間觀念中二、三維圖形的關系、位置的變化，以及圖形的運用，這些與幾何變換的內容緊密相關，還有圖形的位置涉及坐標這部分內容。幾何中包含著合情推理和演繹推理，這些都是推理能力中重要的方面。此外，教師應該清楚，代數、概率統計中也包含推理，只是說推理能力與幾何結合地多一些，但與其他兩部分內容也有聯系。

由于幾何直觀是新增內容，很多教師很容易就會認為幾何圖形就是幾何直觀，其實，幾何圖形僅是幾何直觀的一方面。幾何直觀的主旨就是用圖示的方法將復雜的問題簡單化。幾何作圖是幾何直觀應用的一方面。同時，在“代數”中的數軸，方程表達式的圖形等用圖形表示的都屬于幾何直觀。相對于前面的幾個概念而言，幾何直觀稍微抽象一點，上位一點。

數據分析觀念與“統計與概率”這部分內容緊密相關。它強調數據的收集過程，以及數學中所蘊含的規律。

模型思想在這里特別指的是“數與代數”中的幾種模型：方程、函數、不等式，除此之外，我們如何去刻畫現實世界，并用數學的語言加以表示，這也是一種模型思想的體現。

應用意識，即在學習過程中把知識應用到實踐中，應用到其他學科，應用到解決其他問題中。這個是比較上位的內容。

創新意識是在課程標準修訂中才提出來的，教師們應該意識到，既然課程標準把它放在一個很重要的位置，那么大家就應該把它作為一個目標來追求，對自己的教學觀念作調整，不要就知識論知識。

課程標準中已有一些針對創新意識培養的具體內容。如，課程標準中指出，提出問題和發現問題是創新意識的基礎。要培養學生的創新能力，首先必須讓學生學會提出問題和發現問題。學生在提出問題之后，還得獨立思考，作一些探索，才能使問題深化。現在，有些地區在做學案導學，這屬于實踐方面的內容，也是創新中很重要的內容。

另外，在創新過程中，很重要的一個載體就是“綜合與實踐”，這是培養創新意識過程中一個很重要的抓手。通過在實踐中的操作，在解決綜合性問題的過程中，學生才會有創新。以測量旗桿的高度這個學習課題為例，教師在進入這個學習課題時，完全可以放手讓學生去尋找答案。我在全國不同地區都聽過這個學習課題的課，有些地區的學生能夠給出十幾種方法，雖然層次不同，但都是學生方法上、工具上的創新，數學知識運用上的創新。如果單是教師授課的形式，也就只有一兩種方法。在這里，“綜合與實踐”成為培養創新意識的一個很重要載體。

最后，教師們對于核心概念的理解，不能僅停留在字面層次，而應該是在教學過程中。當你教授到某個內容時，一定要反思，這個內容與哪個核心概念是掛鉤的，如果你能掛上，有意識地在教學中去培養學生這方面的能力，那么你對于核心概念的理念是理解的。

《中國教師》：課程總目標中提出，通過義務教育階段的學習，增強學生發現和提出問題、分析和解決問題的能力。分析和解決問題固然重要，但發現和提出問題更是培養學生創新意識所需要的。您能為大家談談教師如何使學生的創新意識和創新能力得到發展？

綦春霞：其實在比較早的時候，教學大綱中就已經提到了解決問題能力的培養，后面在課程標準實驗稿中也提到問題解決。那時，內涵已經悄然改變。原來我們是“解決問題”，即設定好問題，讓學生去解決，而沒有建模的過程，這更像我們所說的“解題”。但是變成了“問題解決”，內涵就發生了很大變化。學生要學會如何從現實生活中發現問題，將其抽取出來，建立模型，用數學方法解決它。這是一個潛移默化的過程，即使在教學中細微的環節中，也可以引導學生如何提問，發現問題。這是教師在教學中應該注意的方面。

比如，有一位教師在講二次函數的圖像時，在導入新課環節，詢問學生以前學過的函數，隨后，讓學生嘗試畫出二次函數這個新函數的圖像。學生完成后，隨機展示幾位學生的作品，請其他同學評判。在這個過程中，學生在不斷地去發問，被發問的同學也在不斷地去思考，去糾正。這就是在培養學生提問的意識。

我認為提出問題與發現問題最難的一個方面是在實際情景中，學生如何抽象出數量關系，如何進一步培養解決問題的能力。

在日常教學中，教師應該有意識地培養學生提出問題與發現問題的能力。剛開始的時候，教師可以有一個目標性的提問，再后來隨著問題的逐漸增多，教師可以引導學生建立模型。比如，要解決商場服務員的值班調配問題，學生必須要考慮服務員人數、中午休息時間等很多問題的協調，學生在處理這樣的情況時，會提出很多問題，這些問題也是非常有意義的。教師應該引導學生解決實際問題，逐漸培養她們提出問題發現問題的能力，進而使學生的創新意識與創新能力得到發展。

《中國教師》：課程總目標包括知識技能、數學思考、問題解決、情感態度四個方面。在教學實踐中，一些教師總覺得“情感態度”的目標在數學教學中難以落實，您能否給教師一些建議？

綦春霞：很多教師也和我提過這個問題。她們說將情感態度價值觀寫在教案上，主要作用是應付檢查，而不清楚它的意義，也沒有與實際教學相關聯。

有一次，我聽一位教師的課，通過折紙學習軸對稱。教師通過讓學生實際動手操作，去歸納、概括活動中發現的數學中的一些性質，課上得很好，但是最后的小結是一大敗筆。這位教師本意想體現這堂課的三維目標，所以，他就問學生這節課學習了哪些知識，學生都很踴躍地回答。接著，他又問學生的技能、方法有哪方面的提高，學生也作了回答，但是已經不太主動。最后，教師提出：大家的情感態度價值觀有什么樣的發展？這時，沒有一個學生能回答出來，這些學生完全不知所云。課后，我就與這位教師交流：情感態度的培養是潛移默化的過程，而不是一條一條的明目標，但是教師可以通過學生外顯的行為推斷學生情感的發展。比如，我們觀察學生參與課堂的學習的情況，就會發現有的孩子很主動，有的不主動，這就可以看出孩子情感上的投入與不投入，這就是外顯的動作。還有的學生在學習中遇到挫折不氣餒，經過同學的鼓勵，仍然不斷地去努力，這也是良好情感態度的養成。

其實，情感態度能力的培養可能比單純的知識技能培養更重要。很多學生可能因為不喜歡這個教師，而變成不喜歡這個學科。所以，教師首先應該給學生創造一個寬松的、友好的氛圍，使學生在這個學習氛圍中能夠受到鼓勵，積極主動的情感能得以激發，變被動為主動，變厭學為愛學，我覺得這就是情感態度中很重要的方面。很多教師可能會覺得這部分內容很難把握，我建議這方面的目標不要寫太多，如果說這節課就是要培養學生的主動學習，那你就寫上這一點。不能落實的話就不要寫，寧缺毋濫。

《中國教師》：實施有效的課堂教學活動是實現課程目標的保障。那么，如何進行有效的課堂教學活動，您能否為教師們提供一些建議？

綦春霞：我與很多教師也交流過這個問題，大家認為有效的教學活動起碼得能調動學生主動地參與學習。但是如何去調動學生主動學習，教師們的實際操作落實就有了差異。

首先，在教學設計的時候，教師應該有個很好的預設。教師要清楚所教課程的內容、課程標準的要求，以及學生的實際情況。教師應該有目標意識，要清楚如果要讓全體學生都能達標，應該講到什么程度；如果要讓大部分學生達標，又是什么程度。我發現，很多教師沒有這樣的意識，只是不停地在給學生增加課堂容量。這對學生的學習沒有好處。比如河南有一個農村學校，使用的是學案導學。開始時，教師沒有關注不同的學生，認為既然是學生學案，就盡量地讓學生多學，結果，效果一點都不好，學案導學的嘗試被迫中止。她們進行反思之后，就對學案的內容做了一個“大減法”，反而，能適應學生的實際情況。

在課堂教學過程中，教師要關注不同學生的差異。針對不同的學生，教師可以采取不同的方法，比如在提問這個環節，教師要有意識地設計不同層次的問題以面向不同的學生。另外，小組合作方式是一種非常有效的課堂活動。通過集體的合作，不同程度的學生都可以得到發展，不同的小組之間還可以實現資源共享。

在學生活動之后，教師應該作出反饋、評價。反饋評價也是有效教學的一個很重要環節。很多教師已經意識到這個環節的重要性，往往預留5—10分鐘進行課堂小結，引導學生反饋。但是在具體操作的時候，很多教師僅僅在知識方面作小結，而忽視了方法上的小結。另外，教師在課堂教學過程中，也要不斷地去對學生作出反饋。教師應該把學生生成的東西作為一種教學資源。比如，有一次我在聽一位年輕教師的課時，教師引導學生提問題，有位學生一口氣提了六個問題，教師也讓學生將所有問題展示給同學們。但是這個年輕教師對學生的問題沒有作出任何反饋，而是直接展示了自己準備的兩個問題。這位年輕教師卻沒有發現她所準備的問題其實已經包含在那個學生的六個問題之中。正是由于教師沒有關注學生的生成性資源并及時作出反饋，使這個活動成為教學中的盲點。年輕教師在教學過程中比較容易出現盲點，當面臨一些情況時，不能及時作出反饋，在這方面的能力還是應該注意加強。

《中國教師》：評價一直是教育改革中的一個瓶頸。您認為教師在日常教學中該如何開展教學評價以促進學生的數學學習？

綦春霞：日常教學中，應該將評價作為一種診斷工具，而不是一個篩選工具。不要利用它給學生打分，分等級，這不利于學生的發展。在日常教學中，教師應該運用評價診斷學生的不足，思考怎樣去改進。

例如，北京的一位教師讓學生每周完成一篇學習周記，要求學生寫出本周知識上的困惑。經過一個學期的訓練后，這位教師發現學生無論是在對數學的理解，還是語言表達交流能力等方面都有很大程度的提高。也有的教師要求學生每學完一個章節，用自己的語言畫出所學內容的思維導圖，并將這個過程算作日常評價。教師根據學生完成情況為學生打分，并將此分值按一定比例加入到期末考試成績中，這樣做的效果還是不錯的。

另外，有的教師要求學生做自我評價，效果也很好。通過自我評價，學生就會清楚自身目前的程度，有哪些方面的欠缺，經過一個學期后，又有哪些方面的進步，這個評價是與自己作縱向比較，而不去和其他學生橫向比較。這是學生自己的進步。

另外，考試內容與方式的改革，會引導教師在教學中作出改變。我們在學校調研時，發現教師們都比較關注考試的內容。當我們交流一個教學問題時，大部分教師都會關注這個問題會如何考試，他們會在課堂教學中糾結于一些細節問題，比如說是“≥”還是“>”的問題，時刻為考試作準備。因此，課程標準回避不了考試這個話題。考試也是教學評價的一種重要方式。我們不是不提倡考試，問題是考什么，怎么考，如何在考試內容與類型方面，在紙筆測試中體現學生提出問題、解決問題的能力。比如說，“統計與概率”部分，我們要求學生動手實驗，實際體會數據的穩定性。如果將這部分內容作為紙筆測試中的測試題，沒有實驗基礎，學生就做不出來，那么教師就會引導學生去做這種實驗。在青島，所有的學校都會去完成“綜合與實踐”的內容，因為中考題目中會有一道相關的題目去考查學生。

《中國教師》：基于2011年版課程標準的要求，初中數學教師該如何發展自身的專業水平？在初中數學教師培訓方面您有何建議？

綦春霞：教師要發展自身專業水平，首先需要轉變自身的教學觀念。這一點還是很困難的，因為教師所接受的教育直接影響了他現在的教學方式。他們在學生時代沒有接觸過現在的教育方式，很多內容也不會操作。比如，有的教師不會做學案導學，不會開展學生小組合作，即使是分組也流于形式，就對單純的講授式教學最有把握。但是，現在的知識，不僅僅包括結果性的知識，還有過程性的知識，課程目標中除了結果性的目標：了解、理解、掌握、運用，還有過程性的目標：經歷、體驗、探索。學生必須親身參與了活動才能達成過程性的目標，那么，教師就得設計活動，讓學生去操作。活動開展的過程對教師的挑戰是非常大的，這個過程中會有很多不可控的因素出現。因此，教師應該充分做好準備工作，善于積累活動經驗。

目前的培訓還是以講座方式為主。其實，單純的講座方式效果并不理想。在開始實施課程改革的時候，講座的效果是很顯著的，因為那時候大家不了解新課程。但是，經過十多年的時間，大家都已經很熟悉課程標準理念，只是沒有很好地將理念轉換成課堂的教學活動。所以，教師培訓過程中，應該加大教師參與、體驗的內容，這是很重要的。比如，現在數學課堂上都有小組活動，在培訓過程中，也需要安排教師進行小組活動。只有事先體驗了這種教學方式，才能更好地在課堂上去教學生。所以，如果要提高培訓的效果，培訓的形式必須改變。

另外，培訓的內容也需要有針對性。教師們在某些知識方面的儲備還是比較欠缺的。比如說，教師們不太熟悉概率統計、幾何變換等內容，極易將這部分的教學內容與要求拔高，與高等數學的幾何變換內容結合在一起。教師培訓中應該多開展一些關于這些知識內容的培訓。

除了教學內容方面，關于如何了解學生，了解學生的思維過程等方面的培訓力度也應該加強。比如，有一次，我們到一所不錯的學校調研，學校的教研組長就向我們抱怨，這次初一學生的水平太差，期中測試很少有學生的成績能高于90分的。我看了他們的考試題目，發現最后兩道大題都超標了，都是那種數學競賽式的題目。我就對他說，你要清楚自己學生目前的起點，如果按照課程標準的要求，就不應該出現這些內容，即使是中考，也不會出現這樣的題目。

所以，教師培訓應該側重教師對課程標準的把握，對學生的了解，對自身知識的積累等方面。

《中國教師》：怎樣才能更好地理解和落實2011年版課程標準的宗旨和目標，是廣大數學教師要努力與奮斗的，對此，您還有哪些建議與要求寄語他們？

綦春霞：十年一改，在這期間，教師的進步還是很大的。教師的理念有很大的進步，這也是時代賦予教師的一種發展。2011年版課程標準的頒布，對教師來說既是機遇，也是挑戰。作為人類靈魂的工程師，我們不僅要關注學生的發展，更應該給學生更多的愛。我們不僅要以一絲不茍、嚴謹踏實的態度傳道授業，也要以一顆“幼吾幼以及人之幼”的愛子之心來愛我們的學生，使他們成長為一個有血、有肉、有靈魂、有思想的人。在此衷心地希望每一位為此崇高事業而奮斗的教師，都能夠做到“嚴格而不嚴苛，放松而不放縱”，使我們的教育事業能在科學之真的基礎上開出愛的花朵，同時也在愛的澆灌下結出豐厚的碩果！

（責任編輯：林靜）