運動型中考試題的主要類型

我們知道，數(shù)學因為運動才充滿了“活力”，而有關(guān)“運動”的問題一直是同學們學習中的一個難點.由于這類問題涉及到的知識面廣（例如常與方程、函數(shù)、解直角三角形、勾股定理、圖形的面積、三角形的全等與相似等知識相聯(lián)系）、信息量大、綜合性強，所以在解答這樣的問題時，需要學生具有較強的觀察、分析、判斷、發(fā)現(xiàn)、歸納、探究與猜想等能力.同時，這樣的問題文字敘述部分比較長，解答時還要求學生具備較強的閱讀理解能力.對于這樣的問題，學生只有用運動和變化的眼光去審視問題，在理解的基礎(chǔ)上，把握圖形運動、變化的全過程，綜合運用多方面的知識才能解決.而且學生在解答運動型問題時，還能進一步增強對分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程、函數(shù)等數(shù)學思想的認識和理解.正因為如此，這類問題才逐漸發(fā)展成為中考的熱點問題，是中考數(shù)學試卷中的“壓軸題”.

為幫助教師有針對性的加強對運動型問題的教學與研究，我們在認真分析有關(guān)運動型考題的基礎(chǔ)上，將這方面的考題分為以下四種類型，下面結(jié)合具體題目（所選例題均為2013年各地的中考題）進行分析：

1單個點的運動

這類問題中只有一個點在運動，這個點可以沿直線運動，也可以沿曲線（雙曲線、拋物線、圓弧）運動.這個點的運動將導致有關(guān)的圖形發(fā)生變化，其對應的量（如線段的長度，三角形或四邊形的面積等）也將發(fā)生變化.這些變化的“形或量”往往成為命題者捕捉的“對象”，也成為考查學生對有關(guān)知識掌握情況的出發(fā)點和關(guān)鍵點.

例1（上海市）在矩形ABCD中，點P是邊AD上的動點，聯(lián)結(jié)BP，線段BP的垂直平分線交邊BC于點Q，垂足為點M，聯(lián)結(jié)QP（如圖1）.已知AD=13，AB=5，設(shè)AP=x，BQ=y.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；

（2）當以AP長為半徑的⊙P和以QC長為半徑的⊙Q外切（圖2）時，求x的值；

（3）點E在邊CD上，過點E作直線QP的垂線，垂足為F，如果EF=EC=4，求x的值.

圖1圖2析解（1）觀察圖形1發(fā)現(xiàn)，x和y分別屬于△APB和△MBQ，要求二者之間的函數(shù)關(guān)系式，需要證明△APB∽△MBQ，求得AP1BM=PB1BQ，因為BP=AP2+AB2=x2+25，BM=BP12=x2+2512，所以x1x2+2512=x2+251y，化簡得y=25+x212x（1≤x≤13）.（2）根據(jù)兩個圓外切，可以先求出圓心距PQ=AP+CQ=x+（13-y），考慮到QM是PB的垂直平分線，得到BQ=PQ=y，從而y=x+（13-y），所以y=x+1312.結(jié)合（1）中y與x的關(guān)系式，得到x+1312=25+x212x，x=25113.（3）先證明△APB∽△CQE，利用相似三角形的性質(zhì)，列出得到y(tǒng)=65-4x15，再利用（1）中的得到y(tǒng)=25+x212x，設(shè)法消去y，求出x=65±1026113.經(jīng)檢驗：當x=65-1026113（如圖3）或x=65+1026113（如圖4）時，都滿足題意.

圖3圖4點評本題以一個點的運動為載體，綜合考查了矩形、等腰三角形、相似三角形、勾股定理、圓與圓的位置關(guān)系、一元二次方程的解法等基礎(chǔ)知識.第（1）問是基礎(chǔ)，第（2）（3）問的解答都到用到第（1）問求出的y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.在解答第（2）問時，根據(jù)兩個圓外切，得到PQ=AP+CQ=x+（13-y）及由QM是PB的垂直平分線，得到BQ=PQ=y是關(guān)鍵的一步，把兩個含有x，y的等式聯(lián)立，得到y(tǒng)=x+（13-y），結(jié)合第（1）問的結(jié)果y=25+x212x，即可求出x的值.（3）由△APB∽△CQE得到∠EQC=∠EQF，進而推出∠EQC=∠APB，并且得到△APB∽△CQE，然后利用相似三角形的性質(zhì)，得到y(tǒng)=65-4x15，再利用（1）中的得到y(tǒng)與x的關(guān)系式，得到關(guān)于x的二次方程.方程有兩個解，經(jīng)畫圖檢驗都符合要求.

2兩個點同時運動

這類問題又分為兩種情況：一是這兩個點在同一條直線上運動；二是這兩個點在不同直線上運動.這種運動型問題常與探索型問題結(jié)合在一起，解答時要用到的知識點比較多，是學生感到比較困難的問題.

例2（濟寧市）如圖5，直線y=-112x+4與坐標軸分別交于點A、B，與直線y=x交于點C.在線段OA上，動點Q以每秒1個單位長度的速度從點O出發(fā)向點A做勻速運動，同時動點P從點A出發(fā)向點O做勻速運動，當點P、Q其中一點停止運動時，另一點也停止運動.分別過點P、Q作x軸的垂線，交直線AB、OC于點E、F，連接EF.若運動時間為t秒，在運動過程中四邊形PEFQ總為矩形（點P、Q重合除外）.

（1）求點P運動的速度是多少？

（2）當t為多少秒時，矩形PEFQ為正方形？

（3）當t為多少秒時，矩形PEFQ的面積S最大？并求出最大值.

圖5圖6析解（1）根據(jù)直線y=-112x+4與坐標軸分別交于點A、B，得出A、B兩點的坐標.再利用EP∥BO得出EP1AP=OB1AO=112，進而求出P點的運動速度是每秒2個單位長度；（2）先求出點Q與點P重合時所需要的時間為t=813，然后分點Q在點P的左邊和右邊兩種情況討論：當點Q在點P的左邊時（0≤t<813），如圖5，可求得t=2；當點Q在點P的右邊時（813

（3）根據(jù)（2）中所求出t的值得出S與t的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出即可.當點Q在點P的左邊時，S矩形PEFQ=QP·QF=t（8-3t）=-3t2+8t（0≤t<813），當t=-812×（-3）=413時，S矩形PEFQ的最大值為4×（-3）×0-8214×（-3）=1613.當點Q在點P的右邊時，S矩形PEFQ=QP·QF=t（3t-8）=3t2-8t（813

綜上所述，當t=4時，S矩形PEFQ的最大值為16.

點評本題含有兩個點的運動，這兩個點在同一條直線上，是一道比較繁雜的壓軸題.問題的第一問是基礎(chǔ)性問題，屬于送分題；第二問考查學生利用正方形的性質(zhì)解決問題的能力.由于兩個點P，Q在同一條直線上運動，所以矩形PEFQ是一個隨P，Q的運動而變化的圖形.為此，應先求出運動到某個特殊點所用的時間，即P，Q相遇時所用的時間t=813.然后分兩種情況討論，一是當0≤t<813時所形成的圖形為正方形的時間；二是當813

例3（吉林省）如圖7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm.點D、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點，連接DE、DF，動點P，Q分別從點A、B同時出發(fā)，運動速度均為1cm/s，點P沿A→F→D的方向運動到點D停止；點Q沿B→C的方向運動，當點P停止運動時，點Q也停止運動.在運動過程中，過點Q作BC的垂線交AB于點M，以點P，M，Q為頂點作平行四邊形PMQN.設(shè)平行四邊形PMQN與矩形FDEC重疊部分的面積為y（cm2）（這里規(guī)定線段是面積為0有幾何圖形），點P運動的時間為x（s）.

（1）當點P運動到點F時，CQ=cm；

（2）在點P從點F運動到點D的過程中，某一時刻，點P落在MQ上，求此時BQ的長度；

（3）當點P在線段FD上運動時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

圖7圖8析解（1）當點P運動到點F時，求出AF=FC=3cm，BQ=AF=3cm，即可求出CQ=8cm-3cm=5cm；（2）當點P落在MQ上時，如圖8，則有BQ+PF=BC，于是可得到關(guān)于x的方程x+x-3=8，求得x=1112，BQ的長度為1112×1=1112（cm）；（3）根據(jù)點P在線段FD上運動時，所求的重疊部分圖形的形狀的不同，故分三種情況求解.

①當3≤x<4時，重疊部分圖形為平行四邊形，得到y(tǒng)=-314x2+2114x；

②當4≤x<1112時，重疊部分為矩形，y=3[（8-x）-（x-3）]=-6x+33；

③當1112≤x≤7時，重疊部分圖形為矩形，y=3[（x-3）-（8-x）]=6x-33.

點評本題含有兩個動點，其中一個點沿直角三角形的一直角邊運動，另一個點沿折線方向運動。兩個點的運動導致了平行四邊形PMQN也在變化，從而使得它與固定的矩形FDEC重疊部分的面積為y也在變化，本題以此為背景，用代數(shù)的方法研究兩個點的運動問題，是典型的“動點與分類討論”相結(jié)合的題目.考查的知識主要有矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，三角形的中位線，特殊四邊形面積的計算等.是一道比較復雜的壓軸題.

第一、二問比較簡單，大部分同學都能解答.第三問考查學生利用三角形相似的性質(zhì)解決問題的能力.根據(jù)運動的情況結(jié)合圖形應分三種情況考慮，從而得到三個結(jié)果.

3簡單圖形的運動

這里所說的簡單圖形，主要是指特殊的三角形、四邊形或圓等簡單圖形，其運動主要指平移運動、翻滾運動和旋轉(zhuǎn)運動.把一個簡單圖形（角或三角形等）繞固定點旋轉(zhuǎn)一個角度時，原來的圖形將會發(fā)生變化，解答這類問題要具有較強的觀察能力和空間想象能力.

圖9例4（南昌市）如圖9，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=k1x（x>0）的圖象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x軸，且AB=2，AD=4，點A的坐標為（2，6）.

（1）直接寫出B、C、D三點的坐標；

（2）若將矩形向下平移，矩形的兩個頂點恰好同時落在反比例函數(shù)的圖象上，猜想這是哪兩個點，并求矩形的平移距離和反比例函數(shù)的解析式.

析解（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出AB=CD=2，AD=BC=4，即可得B（2，4），C（6，4），D（6，6）；（2）A、C落在反比例函數(shù)的圖象上，設(shè)矩形平移后A的坐標是（2，6-x），C的坐標是（6，4-x），因為A、C落在反比例函數(shù)的圖象上，所以k=2（6-x）=6（4-x），x=3，即矩形平移后A的坐標是（2，3），代入反比例函數(shù)的解析式得k=2×3=6，矩形的平移距離是3，反比例函數(shù)的解析式是y=61x.

點評本題屬于圖形的平移問題.主要考查了矩形性質(zhì)，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，平移的性質(zhì)等多方面的知識.

例5（湘潭市）在數(shù)學活動課中，小輝將邊長為2和3的兩個正方形放置在直線l上，如圖10，他連結(jié)AD、CF，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)AD=CF.

圖10圖11圖12（1）他將正方形ODEF繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖11，試判斷AD與CF還相等嗎？說明你的理由；

（2）他將正方形ODEF繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)，使點E旋轉(zhuǎn)至直線l上，如圖12，請你求出CF的長.

析解（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“邊角邊”證明△AOD和△COF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證；（2）與（1）同理求出CF=AD，連接DF交OE于G，根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OG=112OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式計算即可求出AD=17，從而得CF=17.

點評這類問題屬于圖形的整體運動，本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，熟練掌握正方形的四條邊都相等，四個角都是直角，對角線相等且互相垂直平分是解題的關(guān)鍵.第（1）問只要能根據(jù)條件判定出△AOD≌△COF即可.第（2）問作輔助線DF構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵.

從以上幾例可以看出，運動型問題的共同點是動點與列函數(shù)關(guān)系式相結(jié)合，這些題目具有較強的探索性，大都涉及數(shù)形結(jié)合的思想、方程思想、函數(shù)思想等，通過讓學生經(jīng)歷觀察、思考來感悟、體會圖形的一些基本性質(zhì).所有的動點問題都有一定的層次，有利于考察學生對所學基礎(chǔ)知識的掌握和綜合運用知識發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.這樣的問題對于培養(yǎng)同學們的觀察能力、想象能力及判斷能力都是非常有益的，分類討論問題的解答還能養(yǎng)成同學們考慮問題要全面的思維習慣.所以說，運動型問題具有潛在的價值，是非常值得老師們在日常的教學中加強研究和嘗試的.