不應有的“困惑”

文[1]和文[2]均就幾何題中“如圖”的用法這一問題，闡述了各自的觀點.文[1]對怎樣正確處理“如圖”與“無圖”的問題感到困惑，但傾向于，當幾何題中有“如圖”時，應只按“如圖”求解；文[2]則認為，幾何題中的“如圖”有時會看不清，應將其視為草圖，解題時，不能只考慮“如圖”所代表的情況，還應考慮符合題意的其他圖形所代表的情況.

讀了文[1]、文[2]后，筆者受益匪淺，但對兩文的上述看法，卻難以茍同.現談談自己的看法，不當之處，敬請指正.

為了能透徹剖析“如圖”的用法，首先，根據幾何題的特征，把幾何題分成兩類：第一類是，突出點、線、面的運動變化等特征，強調在運動變化的過程中探索結果，不妨將這類問題稱為動態幾何題.第二類是，不強調第一類的特征，其結果無須在運動變化的過程中求出，而且當問題所包含的情況不止一種時，這些情況都是彼此孤立的，均屬靜態的，因而可將其稱為靜態幾何題.

對于動態幾何題來說，因為它要考察的幾何對象，一般與平移、旋轉、翻折、滾動等運動形式有關，其運動變化所引發的結果，又往往是該類問題要探尋的目標，所以求解此類問題時，必須對運動變化的整個過程進行全面分析，即針對變化過程中每一環節的運動狀態及不同環節之間的聯系，由此及彼、由表及里的深入，層層推進、尋根究底的挖掘.但是，由于幾何對象運動變化的過程是連續不斷的，而一個圖形所表示的狀態卻是靜止不變的，故幾何對象運動變化的整個過程，不可能（也沒有必要）都用圖形全部畫出來.因此，動態幾何題中的“如圖”，只能作為整個變化過程中的一個“關節點”，通過它起到引發或促進思維的作用，進而更加準確地把握運動變化的全過程.可見，這時的“如圖”可視為一個草圖，只有一點參考價值.解題時，不能只按“如圖”機械地求解，而要對運動變化過程中所有可能的情況條分縷析，并要適時畫出新圖加以說明.

例1如圖1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.將該矩形折疊，使點B落在邊AD（含端點）上，落點記為E，這時折痕與邊BC（或CD）（含端點）交于點F，然后展開鋪平，則以B、E、F為頂點的△BEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”.問：該矩形是否存在面積最大的“折痕三角形”？若存在，說明理由，并求出此時點E的坐標；若不存在，也請說明理由.

圖1圖2圖3簡析因為“折痕三角形”的面積隨著點F位置的變化而改變，所以該題是一道動態幾何題.要探究“折痕三角形”的最大面積，應根據點F位置的變化，分為不同的“階段”進行考察.

解矩形ABCD的折痕△BEF存在最大面積，其最大面積為4.理由如下：

（1）當點F在邊BC上（如圖1）時，因為S△BEF=112BF·CD≤112BC·CD=112S矩形ABCD=4，所以，當C、F兩點重合（如圖2）時，△BEF的面積為4.

在圖2中，易知CE=CB=4，DE=CE2-CD2=23，得AE=4-23，從而E（4-23，2）.

（2）當點F在邊CD上（如圖3）時，過點E作EM⊥BC，垂足為M，且EM交BF于點N.根據（1）易知S△BEN≤112S矩形ABME，S△FEN≤112S矩形CDEM，顯然，當EM=EN時，兩式中“=”成立.

再將兩式相加，得S△BEF≤112S矩形ABCD=4，并由EM=EN知：當C、F兩點重合或A、E兩點重合時，△BEF的面積為4，且有E（4-23，2）或E（0，2）.

總之，折痕△BEF的最大面積為4，且E（4-23，2）或E（0，2）.

對于靜態幾何題來說，由于不考慮幾何對象運動變化的過程，它往往具有“單純”、“靜止”、“間斷”的特點，而這些與動態幾何題“連續性”變化的特點是有本質區別的，絕不能混淆.有時候，靜態幾何題的文字語言所描述的題意，雖然可分為幾種情況，但它們之間卻是“孤立”的、“跳躍式”的.正因為該類幾何題有這些特點，所以用一個圖形或幾個圖形，就能把它所包含的情況準確地刻畫出來，并且一個圖形只能與一種情況相對應.因此，求解這類幾何題時，既要考慮文字語言的作用，更應重視圖形對題意的“界定”作用.如果問題中沒有圖形，就意味著該題不受“如圖”的限制，這時若有不同情況，就應考慮所有可能的情況，并針對每一種情況（有時需要畫出圖形）分別求解；如果問題中已有圖形，從文字語言與圖形語言相統一的角度來看，問題只能按“如圖”的含義來求解，而不能隨意改變它.否則，就是偷換了論題，違反了同一律.

例2如圖4，⊙O的直徑CD=10，弦AB=8，AB⊥CD，垂足為M，求DM的長.（見文[1]）

解連接AO，在Rt△AOM中，由勾股定理知OM=3，從而DM=5+3=8.

圖4圖5例3如圖5，已知線段AC與BD相交于點O，連接AB、CD，E為OB的中點，F為OC的中點，連接EF.問：由∠OEF=∠OFE，AB=CD，能否推出∠A=∠D？（見文[1]、文[2]）

解在圖5中，分別過點B、C依次作AO、DO的垂線，通過證三角形全等的方法，即可推出∠A=∠D（文[1]中已有證明，恕不復證）.

圖6圖7圖8說明：（1）如果例2中沒有圖4，例3中沒有圖5，那么它們都變成了“無圖”的幾何題，這樣就不再受圖形的限制了.因此，求例2中的DM時，除上述圖4的情況外，還應考慮垂足M在半徑OD上的情況，故DM的長應改為8或2.而對于例3，除上述圖5的情況外，還應考慮到圖6、圖7、圖8所代表的情況.因為對于圖6和圖7，均有∠A≠∠D，對于圖8，有∠A=∠D（文[2]中已有論述，不再重新證明），所以應把上述結論改為不一定能推出∠A=∠D.

（2）由說明（1）知，對于靜態幾何題來說，“有圖”與“無圖”，其情況大不相同，絕不能將它們混淆或等同起來.否則，將會像文[1]那樣，對如何運用“如圖”感到困惑，甚至還會造成思維混亂，使計算、推理發生錯誤.

上述分析及例題均表明，弄清楚幾何題所屬的“動”、“靜”類型，是正確運用“如圖”的關鍵.文[1]、文[2]的看法，均沒有根據幾何題的“動”、“靜”類型做具體分析，顯然是不妥當的.至于文[2]認為：“幾何題中的‘如圖’所表示的情況，當其差別很小時，‘用肉眼’難以辨別清楚”.這種擔心是不必要的.事實上，要單獨使用圖形來表示這種細微差別的人是沒有的，一般都還會采用其他措施作必要的補充說明.例如，當表示一個角是直角時，除了要把兩邊畫成垂直外，還要用直角符號“┐”標示出來；而如果要表示一個角接近于直角，那么在畫出該角的同時，還要用數據或其他方法對該角的大小進行輔助說明（如∠BAC=87.75°，∠BD1C=92.25°，見文[2]）.可見，在幾何題中，只要能“交代”清楚，即使是“如圖”上的細微差別，也都是清晰可辨的（注：文[2]中所說的看不清的圖形，其實都能看清楚）.如果一定要說存在看不清的圖形，那這個圖形一定是命題人沒畫清楚（或缺少必要說明）的“壞”圖.若引用這樣的圖形來說事，就很難保證思維的確定性和正確性，無論得出怎樣的結論，都是不嚴肅的，難以令人信服.

綜上所述，在解答幾何題時，應注意“無圖”與“有圖”的區別，二者不能混淆.對于“無圖”的情況，只需根據文字語言所描述題意求解即可；而對于有“如圖”的幾何題來說，其“如圖”可否視為草圖，是否需要討論？取決于“如圖”所屬的幾何題的“動”、“靜”類型，并非取決于“如圖”是否清楚.“如圖”清楚與否只是一個圖形質量優劣的問題，這當然與幾何題的“動”、“靜”類型無關，自然無須據此加以討論.

參考文獻

[1]李玉榮.幾何題的“如圖”之我見[J].中學數學雜志，2010（6）：62-63.

[2]朱美香.也談“如圖”與“無圖”的困惑[J].中小學數學，2012（12）：39.