半圓上的切線引出的幾個(gè)結(jié)論

如圖1，半圓的圓心為O，AB為直徑，AC和BD是AB的垂線，P為半圓上不同于A和B的任意一點(diǎn)，過P作半圓的切線，分別交AC和BD于M和N.這個(gè)構(gòu)圖雖然簡(jiǎn)單，卻能引出多個(gè)結(jié)論.

圖1圖2結(jié)論1：如圖：2，過P作PQ⊥AB交AB于Q，連AN和BM，則PQ，AN，BM三線共點(diǎn)；

結(jié)論2：設(shè)AN和BM的交點(diǎn)為G，則PG=QG；

結(jié)論3：如圖3，連QM和QN，則QP是∠MQN的角平分線；

結(jié)論4：如圖4，連OM和ON，則OM⊥ON；

結(jié)論5：設(shè)半圓的半徑為OA=r，則r是AM和BN的幾何平均值，即AM·BN=r2；

結(jié)論6：PQ是AM和BN的調(diào)和平均值，即21PQ=11AM+11BN.

圖3圖4證明如下.

（1）如圖2，設(shè)AN和BM的交點(diǎn)為G，連PG，因?yàn)锳M∥BN，所以△AGM∽△NGB，則有AM1NB=MG1GB，又因?yàn)镻為切點(diǎn)，因而有AM=MP，NB=PN，從而得到MP1PN=MG1GB，故有PG∥BN，由于也有PQ∥BN，則有PQ過G點(diǎn)，從而PQ，AN，BM三線共點(diǎn).

（2）如圖2，（1）中已證PG∥BN，也有PG∥AN，則有PG1NB=MG1MB，即PG=MG·NB1MB，同理可得QG=GB·AM1MB，因?yàn)椋?）中已證AM1NB=MG1GB，即MG·NB=GB·AM，從而有PG=QG.

（3）如圖3，因?yàn)锳M∥PQ∥BN，所以MP1PN=AQ1QB，因?yàn)镸P=AM，PN=BN，所以AM1BN=AQ1QB，又有∠A=∠B，從而△AMQ∽△BNQ，這樣便有∠AQM=∠BQN，而QP⊥AB，故也有∠PQM=∠PQN，即QP是∠MQN的角平分線.

（4）如圖5，連接OP，則OP⊥MP，加之MP=MA，容易看出△AMQ≌△AMQ，從而∠1=∠2，同理可證∠3=∠4，則∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即OM⊥ON.

圖5圖6（5）如圖5，由（4）已證∠2+∠4=90°，則可證△AMO∽△BON，從而AM1BO=AO1BN，即AM·BN=BO·AO=r·r=r2.

（6）如圖6，由于AM∥PQ∥BN，所以PG1BN=MP1MN=MP1MP+PN=AM1AM+BN，即有PG=AM·BN1AM+BN，由（2），PG=GQ，則PG=PQ12，即PQ12=AM·BN1AM+BN，從而有21PQ=AM+BN1AM·BN=11AM+11BN.證畢.