對“三角形的內接正方形作法”的再研究

近日拜讀《中學數學雜志》（初中）2013年第8期王寧老師的文章“三角形內接多邊形的作法探討”一文（下稱文[1]），有許多啟發.同時筆者繼續對三角形的內接正方形問題進行了深入研究，發現文[1]中的結論3（對于任意三角形，一般情況下可以作出3個內接正方形）還需要完善.現撰文商榷如下，請同行賜教.

1什么樣的三角形可以作出3個內接正方形？

文[1]認為，對于任意三角形，一般情況下可以作出3個內接正方形.事實上三角形的內接正方形的個數取決于三角形的形狀.

（1）當三角形是直角三角形時，可以作出2個符合條件的內接正方形.

如圖1，在△ABC中，∠BAC為直角，在AB邊上適當的位置取點D，作DE⊥BC于E，再以DE為邊在三角形內部作正方形DEFG，此時點F在BC上，連接BG并延長交AC于點H，作IH∥BC交AB于點I，作IJ∥DE交BC于點J，再作HK∥IJ交BC于點K，這樣得到的四邊形HIJK即為滿足條件的第一個內接正方形.

理由如下：通過作圖和四邊形DEFG是正方形易證明四邊形HIJK是矩形.因為△DBG∽△IBH，所以DG1HI=BG1BH.同樣地，由△BGF∽△BHK得GF1HK=BG1BH.所以GF1HK=DG1HI，又因為DG=GF，所以HI=HK，因此四邊形HIJK是正方形.

圖1圖2如圖2，我們也可以作出兩條邊在直角邊上的第二個內接正方形.

所以對于直角三角形，存在2個大小不同的內接正方形.

（2）當三角形是鈍角三角形時，只能作出一個三角形的內接正方形.

如圖3，類似上述作法，我們可以作出一個一條邊落在鈍角三角形最大邊上的內接正方形.如圖4，當正方形的一條邊落在AC上時，按以上作法過AB上一點畫AC的垂線時，垂足將落在線段CA延長線上，此時得到的正方形不是三角形的內接正方形.因此，鈍角三角形中只存在1個內接正方形.

圖3圖4（3）如圖5-7，當三角形是不等邊銳角三角形時，分別讓正方形的一邊落在不同的邊上，利用位似放大的方法我們可以作出3個大小不同的內接正方形.

圖5圖6圖7通過以上的分析，筆者認為，應將文[1]的結論修正為：在鈍角三角形中存在1個內接正方形，在直角三角形中存在2個內接正方形，在不等邊銳角三角形中存在3個大小不同的內接正方形.

2不等邊銳角三角形的3個內接正方形中哪一個最大？

從以上分析可知，不等邊銳角三角形存在3個內接正方形，而且這3個正方形的大小不同，那么這3個正方形中哪一個是面積最大的正方形呢？

圖8如圖8，已知△ABC，不妨假設a

同理，分別落在a，b邊上的內接正方形的邊長是la=2S1a+2S1a，lb=2S1b+2S1b.

下面比較la，lb，lc的大小.

lb-la=2S1b+2S1b-2S1a+2S1a

=2S·（a-b）+（2S1a-2S1b）1（b+2S1b）（a+2S1a）

=2S1（b+2S1b）（a+2S1a）（a-b）（1-2S1ab）.

因為S=112absin∠ACB，所以2S1ab=sin∠ACB，而00.

又因為a

通過計算我們發現，這3個內接正方形中，有一條邊落在原三角形最短邊a上的這個正方形邊長最大，因此面積最大.

3三角形的內接正方形還有其他作法嗎？

文[1]介紹了“以退為進”作三角形的內接正方形：先構造一個滿足局部條件的小正方形，然后利用位似放大后得到.筆者在深入研究這個問題后發現：既然放大可以構造正方形，那么是否縮小也可以類似構造正方形呢？研究發現確實可以先構造一個滿足局部條件的較大正方形然后再利用位似進行縮小構造內接正方形.以銳角三角形為例說明如下：

如圖9，要作一個有一邊在AC邊上的內接正方形，以AC為邊長作正方形ADEC，然后從AC邊的對角頂點B作BF∥AD交AC邊于點F，連結DF交邊AB于點G，過點G作GH∥AC交BC于點H，最后分別過點G、H作AD的平行線交邊AC于點J、I，則得到的正方形GHIJ即為所求內接正方形.

圖9圖10理由如下：通過作圖和四邊形ADEC是正方形易證明四邊形GHIJ是矩形，又因為△FGJ∽△FDA，所以GJ1AD=FG1FD.同理，由△BGH∽△BCA，得GH1AC=BG1AB.因為△BGF∽△AGD，所以BG1AB=FG1FD，等量代換可得GJ1AD=GH1AC.又因為AD=AC，所以GJ=GH，所以可得四邊形GHIJ是正方形.

事實上，這種通過位似縮小來構造的方法，與前面放大構造的區別在于位似中心不再是原三角形的頂點，而是以過頂點作平行線與對邊相交的點為位似中心.類似地，如圖10，我們也可以利用位似縮小的方法構造長、寬符合一定比例要求的三角形的內接矩形.

參考文獻

[1]王寧.三角形內接多邊形的作法探討[J].中學數學雜志，2013（8）：37-38.

作者簡介杜斌，男，1979年生，浙江寧波人，中學一級教師，有多篇文章在省、市級獲獎.