剪拼引領探究自主積累經驗

2013年5月24日，浙江外國語學院組織的浙江省“百人千場”送教下鄉活動在浙江省湖州市南潯的錦繡中學舉行.此次活動特邀筆者（王利慶）執教“梯形第一課時”（浙教版教科書八年級下）.現將課堂實錄展現如下.

1課堂實錄

1.1剪拼齊下，歸納梯形特征

師：小學里我們已經學習了梯形，認識了梯形的形狀及梯形的面積公式.今天我們將系統地學習梯形的性質及應用.（呈現課題）

師：現有三個任務，分別請同學們協助完成（PPT上呈現）.

生1：一個任意的三角形紙片剪一刀，剪出一個梯形紙片.

生2：一個平行四邊紙片和三角形紙片，拼出一個梯形.

生3：兩個直角三角形紙片和一個矩形紙片，拼出一個梯形.

（三位同學分別把作品用磁鐵展示在黑板的右側）

師：我幫同學問生1一個問題，你在剪的時候，這一刀是任意剪的嗎？

生1：不是的，剪出的邊和三角形的底邊時平行的，這樣才滿足梯形的特點

師：嗯，很好！

設計說明：基于學生原有的認知基礎，直接揭示教學內容.通過拼剪操作，旨在回憶梯形的幾何特征.設計這三種情況成梯形，為突破本節課的難點（梯形輔助線的常見添法）埋下伏筆.

師：請同學們觀察黑板上的三個梯形，歸納出它們的共同特征？你能試著給梯形下定義嗎？

（眾生思考片刻）

生4：這些梯形的共同特征是：都有一組對邊平行，另一組對邊不平行.

師：這為同學說的完全正確，那么誰能試著給梯形下定義呢？

生5：一組對邊平行的四邊形是梯形.

師：同學們，這位同學的定義正確嗎？

生6：應該是一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形.

師：到底是哪位同學的回答更正確呢？請同學們把書翻到148頁，看書上的概念.（組織同學一起朗讀）

師：根據定義，請同學們思考，這個定義是從兩組對邊的什么關系來定義的？

生眾：位置關系

師：這和平行四邊的定義角度相同嗎？（兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）

生眾：相同，都是從邊的位置關系界定的.

圖1師：（師板書）一起認識梯形的元素（略）（圖1），其中∠B和∠C是一組底角；∠A和∠ADC也是一組底角，這兩組角有一個制約的條件：要求在同一底邊上.

師：梯形的高有多少條？

生眾：無數多條.

師：一般在解決問題中，往往作過其中的一個頂點做高.

設計說明：讓學生嘗試歸納這組梯形具有的共同特征，并試著給梯形下定義.旨在促進學生積極思考，自己理解概念，培養學生的概括、歸納和表達能力.數學概念力求精準、確切，體現科學性，因此，在學生歸納表達梯形概念的基礎上，指導學生閱讀課本，養成看書的好習慣，同時也可完善、清晰梯形的關鍵特征.

1.2變式拼圖，認識特殊梯形

師：（引導學生觀察拼（兩直角三角形和一矩形））現老師移走其中的一個直角三角形，問：余下的四邊形還是梯形嗎？為什么？

生7：是梯形，因為這個四邊形中，有一組對邊平行而另一組對邊不平行，所以還是梯形.

師：這位同學用梯形的定義進行判別.那么，這個梯形有什么特點嗎？

生8：它有兩個角是直角

師：我們稱這個叫做直角梯形.（板書定義）

師：現把這其中的一個直角三角形換成和另一側全等的三角形，問：這時兩腰有什么數量關系？為什么？

生9：這時兩腰長是相等，因為全等三角形對應邊相等.

師：這時的梯形叫做什么梯形？

生眾：等腰梯形.

師：（板書），它的幾何語言可以表達為：

∵AB=CD，AD∥BC，

∴梯形ABCD是等腰梯形

設計說明：針對初中學生的認知特征，運用動手實驗、觀察、歸納、簡單推理，變式梯形的關鍵特征，建構兩種特殊梯形的概念.體現了在自主探索的過程中培養學生的歸納能力的觀點.

師：今天這節課我們將重點研究等腰梯形的性質.先請同學們用所學的概念來辨析下列一組問題.（PPT呈現，學生先思考，再逐一回答）

判斷下列說法是否正確，說明理由

（1）等腰梯形是特殊的梯形（）

（2）平行四邊形是特殊的梯形（）

（3）梯形是特殊的平行四邊形（）

（4）梯形、平行四邊是特殊的四邊形（）

（回答及理由略）

師：上述同學回答地都非常正確，尤其是同學們均能運用梯形、平行四邊的概念來進行判斷，事實上，概念、定義是辨析、判斷的依據之一，學習過程中要學會正確思考.

設計說明：在學生獲得了梯形概念的核心要素后，為辨析梯形與相近圖形（平行四邊）的區別，設置此辨析題，旨在通過對這些概念的分析、思考，讓學生明了這兩者是相互獨立的，是我們研究的兩種特殊四邊形，可以有效地把梯形概念納入四邊形知識網中.

1.3觀察拼圖，猜測等腰梯形性質

師：我們一起來探究等腰梯形的性質，有哪位同學來回答，平行四邊形性質的研究一般從哪些角度來進行的？

生14：從邊、角、對角線及對稱性四個方面

師：那么，我們是不是也可以類比學習研究等腰梯形的性質呢？答案是肯定的，因為梯形也是特殊的四邊形之一，請同學們仔細觀察黑板上的等腰梯形，猜測它的性質是什么？

生15：（思考片刻后）答案略.（該生是結合圖形用幾何語言回答的，在回答過程中，老師就邊、角問題追問了為什么，對角線是猜測的，學生一邊回答，老師一邊板書）

師：（呈現了一個等腰梯形紙片）哪位同學幫老師操作一下，證明它確實是軸對稱圖形，并回答對稱軸是誰？

生16：對稱軸是上下底邊的中垂線所在的直線.（說理略）

設計說明：讓學生類比平行四邊學習方法，猜測梯形性質的研究也從邊、角、對角線和對稱性四個角度研究.這樣設計，旨在讓學生清晰建構本節課的知識內容，也可以讓學生再次感受到幾何學習的一般方法（概念呈現、性質探究、判斷應用），使學生在腦海中呈現的知識主干，而在解決問題過程中又可有序、全面提取具體知識內容.

1.4性質證明，自主探究輔助線添法

師：嗯，同學們通過觀察、操作、猜測得出了等腰梯形的性質，那么是否正確呢？我們還需對性質進行嚴謹的證明.（PPT呈現題目，學生解答在學案紙上）

圖2已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC.（圖2）

求證：（1）∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA；

（2）AC=BD

（學生完成在學案紙上，先自己獨立思考，有困難的同學可以看書上的解答、同桌之間討論，同時老師在學生中間巡視，個別答疑，這個環節學生自主思考的時間比較長）

生17：（添輔助線，到講臺處用投影儀一邊展示證明過程，一邊講解，具體解題過程略）（圖3）.

圖3圖4師：我能不能幫同學問個問題，你是怎么想到這樣添輔助線的？

生17：等腰三角形中可以證明角相等.把等腰梯形轉化成了一個平行四邊形和等腰三角形.

師：這里主要是在平移腰，可以簡稱其方法是“移腰”.

生18：（展示方法同生17，證明過程略）（圖4）.

師：這種證明方法是通過作高，把等腰梯形轉化成了兩個全等的直角三角形和一個矩形.

師：通過上述兩位同學對等腰梯形性質的證明過程我們發現，他們都是把等腰梯形轉化成三角形或平行四邊形及它們的組合，這是一種重要的數學思想方法之一，即轉化思想.這是等腰梯形常添的輔助線之一，在解題過程中經常會用到.

（對于沒有想到證明方法的同學，經過同學、老師的分析后，選擇所講的一種證法，將證明過程完整地寫在學案紙上，其他的同學可以思考學案紙上的例1）

設計說明：上述添輔助線的方法為先由學生獨立思考，后小組合作探討、看書、教師個別啟發等所獲得.問題解決的思維形成過程、知識的建構，需要學生自主、獨立的思考，這樣更利于納入自身的認知范圍.在命題的證明過程中，由于有教師的剪拼鋪墊，添出一條輔助線對于學生來說并不難.通過對命題證明的過程可以使學生對證明思路中的轉化思想更有體會，培養了學生的推理、嚴謹說理的能力.

1.5探索應用，多角度展現解決過程

師：請同學們試著解決下列問題（PPT呈現問題，學生解答在學案紙上）

例1：如圖5，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，已知∠B=60°，AD=15，AB=45，求底邊BC的長.

備圖備圖

圖5師：梯形的問題，我們一般將它轉化成什么圖形的問題，這里能用得上嗎？請你試一試.

（基于對等腰梯形性質的證明過程思路的分析與自主解決，對這個問題的解決，大部分學生能較快的解決，2分鐘后，較多的同學在學案紙上畫出了輔助線的添法，老師巡視，個別指導）

生19（在學案紙上畫出了下列三種輔助線）.（圖6）

方法一：延長BA，CD交于點E，則△EBC，△EAD為等邊三角形（具體證法略）.

方法二：過D點作DE平行AB交BC于點E，則可證ABED為平行四邊形，DEC為等邊三角形（具體證明過程略）.

方法三：過點A和點D作AE⊥BC，DF⊥BC，則可證△AEB，△DFC為全等的直角三角形和AEFD為矩形（具體證明過程略）.

圖6師：這同學真棒！這么短時間內想出了三種證明這個問題的方法，并且講解時條理清楚，其他同學還有不同的添輔助線方法嗎？

生20：過點B和點C分別作BE⊥AD和CF⊥AD，交AD所在直線于點E和F，證法同生19的方法三（具體證明過程略）（圖7）.

師：謝謝這位同學，他也是通過“作高”添輔助線，但是這兩個直角三角形添在了等腰梯形的外側，把等腰梯形補形成了一個矩形.

生21：老師，我還有其他的添法（主動上講臺演示，講解）

圖7圖8師：你能告訴同學，你是怎么作出這條輔助線的？

生21：過點C作CE平行AB，交AD的延長線于點E，可證得ABCE是平行四邊形和DCE是等邊三角形（具體證明過程略）（圖8）.

師：這位同學肯動腦筋，把腰平移在梯形的外面，這樣，等腰梯形補形成了平行四邊形，一樣可以求得邊長.

設計說明：有了前面練習的經驗，對于學生而言，本例的解答應該不成困難，所以放手讓學生自行解決，并有學生根據自己的解決策略上黑板進行講解，可以培養學生的表達能力和膽識.教師可關注學生在解答中的不足及對學生能夠進行恰當的追問、小結即可.本題在解決中充分展示了學生多角度、多方法解決問題的方法，這對對培養學生多角度引導學生思考，探究解決問題的方法的能力很重要也很需要.問題的設問與解答為學生的思維發展提供了廣闊的空間，體現了學生的主動性、自主性和創造性.在學生充分思考的基礎上教師鼓勵學生敢于大膽質疑，勇于闡述自己的觀點，這是探究的有效策略及培養學生良好思維品質的重要途徑.

1.6師生共話，復習鞏固所學知識

師：關于這個問題的證明先告一段落，今天我們對所學的內容一起來簡單的回憶一下（PPT呈現知識主干，對每一個內容由學生回答）（圖9）.

圖9設計說明：課堂小結，則以圖表形式，簡練、直觀，呈現本節課內容的關鍵詞，在師生共同小結過程中，可以讓學生很好地回憶本節課的知識，加深印象.對本節課中所涉及的數學思想方法，教師及時引導、歸納和整理，提升學生解決問題的能力

2設計反思：對幾何概念課設計的再認識

《義務教育數學課程標準》（2011年版）明確提出“四基”，即基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗.因此如何幫助學生積累基本數學活動經驗應成為教師關注的內容之一.而幾何概念課具有“幾何直觀”性，如何有效的設計，使課堂成為學生積累基本活動經驗的載體場所，應成為教師設計的新增內容之一.

經驗的獲得需要“領悟”與“轉化”：通過參與具體活動（也可以是替代性的視覺觀察）直接領悟獲得具體經驗；然后對所經歷的活動通過回顧、反思等內在的思考，內化為能夠理解的合乎邏輯的、抽象的經驗；最后將獲得的經驗在解決新問題中進行證實和運用，重新領悟和創造新的經驗.經驗的積累就是在這樣不斷循環往復的連續過程中實現經驗的創造、領悟與轉化.基于幾何圖形具有直觀性、可操作性的特點，本教學內容通過學生的剪、拼呈現的梯形示例，得出梯形概念；觀察梯形引出特殊的梯形；歸納、猜測得出等腰梯形性質；以及利用拼圖啟發學生得出等腰梯形性質證明的輔助線添加思路，完成教學內容.明暗線脈絡清晰，以一開始呈現的剪拼梯形為暗線，三個新知引入環節均以此為背景引入；明線則以梯形概念、等腰梯形概念、性質、性質證明及問題解決為線索，層層深入.整個教學過程，堅持在“操作、觀察”中學，增加了學生的課堂參與度，喚醒了學生原有的生活經驗和數學學習經驗，教師通過設置明確的探究目標和指引合理的探究方向，學生留出了充分的活動時間和想象空間，通過動眼觀察、動手操作、動腦思考、動口回答，通過親手操作體驗，提供學生思維的起點和有效載體，并在此基礎上，教師不失時機地加以引導，讓學生經歷觀察、猜想、驗證、歸納、證明、運用的過程，有效地培養學生的理性思維.并通過交流討論，在分享探索成果，體驗成功樂趣的同時，也培養了學生勇于探究善于歸納的良好的學習品質.因此，探究活動究其教學價值而言，是積累感性經驗的載體，為理性思維的生成作鋪墊.

作者簡介王利慶，女，1973年10月出生，浙江嵊州人，中學高級教師，教育碩士，杭州市教壇新秀.