以平移為媒，解二次函數(shù)問題

把一個圖形上的各點按同一方向移動同一距離的變換稱為平移變換，平移變換是初中數(shù)學(xué)重要的思想和方法.我們知道平移變換不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置.因此利用平移變換的這一特征，在解決有關(guān)二次函數(shù)問題時，可以有效整合圖形（題設(shè)）信息，優(yōu)化圖形結(jié)構(gòu)，使得較為復(fù)雜的問題得以創(chuàng)造性地解決.下面就采擷幾例介紹這類問題的解法.

1平移法解選擇題

圖1例1（2010臺州）如圖1，點A，B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（4，4），拋物線y=a（x-m）2+n的頂點在線段AB上運動，與x軸交于C、D兩點（C在D的左側(cè)），點C的橫坐標(biāo)最小值為-3，則點D的橫坐標(biāo)最大值為（）

A.-3B.1C.5D.8

分析拋物線y=a（x-m）2+n的頂點在線段AB上運動時，由于該拋物線的形狀大小和開口方向都沒有發(fā)生變化，D點運動的軌跡可以看作是將點D沿x軸平移AB個單位長度.

解析C、D兩點是拋物線與x軸的交點，當(dāng)取得C的橫坐標(biāo)最小值為-3時，拋物線的頂點在A處，對稱軸為直線x=1，由對稱性可知，此時D點坐標(biāo)為（5，0）.當(dāng)拋物線的頂點平移到B處時，可以取得D的橫坐標(biāo)最大值，由平移的性質(zhì)知，D點平移的距離為線段AB的長度，即將點D（5，0）沿x軸向右平移3個單位得D點坐標(biāo)為（8，0），故選D.

點評本題著重考察了觀察和動手操作能力，通過觀察和操作可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)拋物線的頂點在線段AB上運動，其實質(zhì)就是整個拋物線在線段AB方向上進(jìn)行了平移，再根據(jù)平移前后的線段平行且相等來解決問題.

2平移法解填空題

例2（2013荊門）若拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點，且過點A（m，n），B（m+6，n），則n=.

分析此題常規(guī)解法如下：依題意，得

m2+bm+c=n.①

（m+6）2+b（m+6）+c=n.②

②-①，得12m+36+6b=0.即b=-2（m+3）.因為拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點，所以b2-4c=0.即c=b214.所以n=m2+bm+c=m2-2（m+3）m+114×4（m+3）2=9.

通過觀察題設(shè)中拋物線所過A、B兩點橫縱坐標(biāo)我們發(fā)現(xiàn)，A、B兩點為拋物線上一對對稱點且A、B兩點間的距離為定值6.因為此拋物線與x軸只有一個交點，所以將拋物線的頂點沿x軸平移，n的值不會發(fā)生變化，且AB兩點到對稱軸的距離都始終為3.因此可將拋物線的頂點平移到原點處.

解析因為拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點，所以原拋物線的頂點在x軸上.將原拋物線的頂點平移至原點，則所得拋物線的解析式為y=x2，且它經(jīng)過點A′（-3，n），B′（3，n）.當(dāng)x=±3時，n=（±3）2=9.

點評本題用常規(guī)方法解答較為繁瑣，我們解題時可以另辟蹊徑，通過對拋物線進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠揭疲瑥亩鴥?yōu)化問題結(jié)構(gòu)，使問題簡潔獲解.

例3（2012泰安）二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象如圖2，若一元二次方程y=ax2+bx+m=0有實數(shù)根，則m的最大值為.

圖2分析要求一元二次方程ax2+bx+m=0有實數(shù)根時m的最大值，我們可以看作是二次函數(shù)y=ax2+bx+m與x軸有交點時m的最大值.

解析y=ax2+bx+m圖象是由y=ax2+bx圖象沿y軸向上（向下）平移m個單位長度得到的.因為二次函數(shù)y=ax2+bx頂點的縱坐標(biāo)為-3，所以平移后使得二次函數(shù)y=ax2+bx+m與x軸有交點最大長度為3，即m≤3，故m的最大值為3.

評析另解：因為一元二次方程ax2+bx+m=0有實數(shù)根，所以b2-4am≥0，由y=ax2+bx的圖象可得頂點縱坐標(biāo)為-3，即0-b214a=-3，b2=12a，所以12a-4am≥0，由a>0，解得m≤3.這道題目我們可以用圖像法解，也可以用代數(shù)法解，從而詮釋二次函數(shù)和平移等數(shù)學(xué)知識中“數(shù)”和“形”的統(tǒng)一.

3平移法解實際問題

例4如圖3，足球場上守門員在O處開出一高球，球從離地面1米的A處飛出（A在y軸上），運動員乙在距O點6米的B處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達(dá)到最高點M，距地面約4米高，球落地后又一次彈起.據(jù)實驗測算，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半.

圖3（1）求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達(dá)式.

（2）足球第一次落地點C距守門員多少米？（取43=7）

（3）運動員乙要搶到第二個落點D，他應(yīng)再向前跑多少米？（取26=5）

分析由于足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半，所以彈起后的拋物線可以看成是將第一個拋物線先向左平移若干個單位后，再向下平移兩個單位.那么如圖3，足球第二次彈起的距離CD就為EF平移所得.

解析（1）y=-1112（x-6）2+4.（2）略.

（3）如圖3，第二次足球彈出后的距離為CD，根據(jù)題意：CD=EF（即相當(dāng)于將拋物線AEMFC向下平移了2個單位），所以2=-1112（x-6）2+4解得x1=6-26，x2=6+26.所以CD=x1-x2=46≈10.所以BD=13-6+10=17（米）.

答：他應(yīng)再向前跑17米.

點評本題是以足球運動為背景的二次函數(shù)問題，卻隱含了平移的知識，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，而最大高度減少為原來的一半.結(jié)合圖形即可知，拋物線EMF與拋物線CND形狀和大小完全相同.拋物線CND可以理解為由拋物線EMF經(jīng)平移得到，從而創(chuàng)造性地解決了求CD長度的問題，避免了再次求拋物線的過程.

4平移法解綜合題

例5（2013佛山）如圖4，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（0，3），B（3，0），C（4，3）.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求拋物線的頂點坐標(biāo)和對稱軸；

（3）把拋物線向上平移，使得頂點落在x軸上，直接寫出兩條拋物線、對稱軸和y軸圍成的圖形的面積S（圖5中陰影部分）.

圖4圖5分析（3）“把拋物線向上平移，使得頂點落在x軸上”可根據(jù)平移前后的頂點坐標(biāo)求出向上平移的距離，再根據(jù)平移的性質(zhì)可知陰影部分的面積就等于平行四邊形的面積，列式進(jìn)行計算即可得解.

解（1）y=x2-4x+3；

（2）因為y=x2-4x+3=（x-2）2-1，所以拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，-1），對稱軸為直線x=2；

（3）如圖4，因為拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，-1），所以PP′=1，陰影部分的面積等于平行四邊形A′APP′的面積，平行四邊形A′APP′的面積=1×2=2，所以陰影部分的面積為2.

點評本題重點考察了二次函數(shù)圖象的幾何變換，根據(jù)平移的性質(zhì)，把不規(guī)則的圖形面積（陰影部分的面積）轉(zhuǎn)化為平行四邊形的面積是解題的關(guān)鍵.

作者簡介王國兵，男，1981年11月生，江蘇東臺人，榮獲東臺市優(yōu)質(zhì)課競賽一等獎，東臺市首屆畢業(yè)班數(shù)學(xué)老師解題競賽一等獎，2011年起，多篇論文發(fā)表.