“數學活動經驗”積累的教學實踐與思考

問題提出：2011版《義務教育數學課程標準》明確提出“通過義務教育階段的數學學習，學生能夠獲得適應社會生活和進一步發展所必須的數學的基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”[1].基本數學活動經驗屬于學生的主觀性數學知識的范疇，它形成于學生的數學活動過程之中，伴隨著學生的數學學習而發展.筆者于2013年9月22日參加江蘇省教研室“教學新時空·名師課堂”網絡教研活動，為廣大網友展示了蘇科版義務教育教科書中的“軸對稱與軸對稱的性質”研究課，并與參加活動的3位專家一起，以“數學活動經驗”為主題進行了研討，現將本人的教學實踐、思考、收獲呈現出來，以得到廣大數學同仁的指導.

1選題原因

學生在七年級已經經歷圖形的運動和圖形的平移的學習，幾何圖形運動學習的“活動經驗”；在八年級上的第一章“全等圖形”的學習中，學生能從平移、翻折和旋轉等幾何變換的視角認識圖形的全等，學習圖形的翻折、旋轉成為必然，那么如何在這些變換的學習中進一步積累數學活動經驗、進而發展數學活動經驗成為教學的追求，故嘗試以“軸對稱與軸對稱的性質”為課題進行了教學實踐.

2教學實踐

2.1類比遷移，形成概念

活動1：如圖1，下列每對全等圖形，可以分成幾類？

圖1生1：可以分成三類，分別是（1）（3）、（2）（4）、（5）.

師：按照什么標準分類？

生2：分別按照翻折、平移和旋轉分成上面3種類型，即（1）（3）兩組是通過圖形的翻折使兩個圖形重合，（2）（4）兩組是通過圖形的平移使兩個圖形重合，（5）是通過圖形的旋轉使兩個圖形重合.

師：上學期我們已經學習過圖形的平移，什么叫圖形的平移？

圖2生3：如圖2，在平面內，將△ABC沿線段AA1的方向移動線段AA1的長得到△A1B1C1.

師：圖形平移的本質是什么？

生4：圖形的平移的本質是圖形上所有點的平移，例：點P是△ABC上的任意一點，沿線段AA1的方向移動線段AA1的長得到點P1.

師：圖形平移的要素是什么？

生5：距離和方向.

師：圖形平移的性質是什么？

生6：平移前后圖形的對應點的連線平行（或在同一直線上）且相等.

師：你如何理解這個性質的？

生7：根據平移的定義及兩個要素知道，AA1=BB1=CC1=PP1，AA1∥BB1∥CC1∥PP1，即位置和數量兩個方面.

師：根據圖形平移的學習，獲得了哪些經驗？

生8：根據圖形平移的學習，可以得到下面的學習框圖：

說明學生已經學習了全等圖形，理解通過平移、翻折、旋轉三種圖形運動可以使兩個全等圖形重合的數學本質；在學習平移的過程中，明確了圖形平移的概念及要素，探究了圖形平移的性質，掌握和理解了圖形的平移運動的本質是圖形上所有點的平移，初步形成了平移概念學習和性質探究的活動經驗，所以在學生自然地將5組全等圖形按照圖形運動方式的不同分成平移、翻折和旋轉三類后，以問題為導引，引導學生回憶平移的概念、要素、性質及學習方法，揭示圖形平移的本質，為后續圖形翻折與圖形的軸對稱學習做好方法和經驗的鋪墊.

師：如圖3，下面兩對圖形是通過哪種圖形的運動形成的？

圖3生9：通過翻折，改變其中一個圖形的位置得到另一個圖形，例：將（1）中左邊三角形翻折可以與右邊三角形重合，（2）中上面五邊形翻折與下面五邊形重合.

師：如何驗證你的想法？

生10：可以將兩個圖形翻折一下進行驗證.

師：請利用所給的素材操作一下（課前準備好印有圖3的紙片），學生按照所思考的圖形運動方式進行操作實驗.

師：請觀察你所折疊的紙片，發現了什么？

生11：打開折疊的紙片，得到一條折痕.

師：這條折痕可以抽象成什么圖形？

生11：可以抽象成線段或線段所在的直線.

說明要求學生觀察兩組圖形，思考圖形運動方式，可以培養學生的空間想象能力，發展學生的空間觀念.在數學思考的基礎上，通過折紙活動，完成圖形翻折的操作實驗，旨在驗證數學思考結果的合理性和正確性，自然獲得概念中三個核心詞“直線、翻折、重合”，為自主歸納兩個圖形成軸對稱做好充分的準備.

師：你能給具有這種關系的圖形起個名字嗎？

生12：兩個圖形對稱.

師：對，兩個圖形關于某條直線對稱，也稱成軸對稱.你能歸納出兩個圖形關于某條直線對稱的概念嗎？

生13：將一個圖形沿某一條直線翻折，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關于這條直線對稱，也稱這兩個圖形成軸對稱.其中，這條直線叫做對稱軸，互相重合的點稱為對稱點，例比如：如圖4，△ABC和△A1B1C1關于直線l對稱（成軸對稱），l是對稱軸，點A與點A1是關于直線l的對稱點.

師：這樣的對稱點有多少對？

生14：點B與點B1是關于直線l的對稱點、點C與點C1是關于直線l的對稱點……，這樣的對稱點有無數對.

圖4圖5說明學生通過討論概括得到兩個圖形成軸對稱的概念及對稱軸、對稱點等相關內容，并引導學生關注兩個圖形成軸對稱時的對稱點，提出問題“這樣的對稱點有多少對？”，為后面實現平移學習經驗的遷移做好鋪墊，即圖形翻折的本質是圖形上所有點的翻折、圖形對稱的本質是圖形上所有點的對稱.在這個活動中，學生經歷了“想象——分類——操作實驗——抽象——概括”的概念形成過程，即從概念的外延入手，通過數學實驗揭示概念的內涵（本質），并歸納出概念的內涵及相關概念，再在性質的探究過程中進一步界定概念的外延，從而積累概念學習的數學活動經驗.

2.2操作說理，探究性質

活動2：如圖5，△ABC和△A1B1C1關于某直線對稱，如何確定它們的對稱軸？

生15：若△ABC和△A1B1C1在某張紙片上，可以利用折疊紙片的方法，利用圖形的翻折運動得到對稱軸，即折疊→折痕→對稱軸，這是根據成軸對稱的定義得到對稱軸.

說明學生利用在活動1中的活動素材，提出翻折紙片，獲得折痕，抽象為對稱軸的解決方案，比較直觀.

師：若△ABC和△A1B1C1不能通過翻折（比如圖形在黑板上），哪通過什么方法得到對稱軸？

師：類比圖形的平移，下面應該研究兩個圖形成軸對稱的什么內容？

生16：應該研究兩個圖形成軸對稱的要素和性質.

說明提出“若所給的兩個成軸對稱的圖形不能夠真正進行翻折（折疊），哪如何確定對稱軸？”，引發相應的數學思考，形成認知的沖突，感受性質探究的必要性.教師提出“下面應該研究兩個圖形成軸對稱的什么內容？”，學生在平移學習經驗的啟發下，類比提出“應該研究兩個圖形成軸對稱的性質”的研究內容.

師：如何研究“成軸對稱的圖形”的性質？要素又是什么？請利用在活動1中得到的△ABC和△A1B1C1及對稱軸l，自主研究.

生17：如圖6，若連接CC1，交對稱軸l于點M，可以從位置和數量兩個方面觀察，得到CC1⊥l，CM=C1M.

師：直線l垂直平分CC1，即直線l是線段CC1的垂直平分線.

生18：同樣地，直線l垂直平分AA1、BB1.

師：這個結論對所有的對稱點都成立嗎？如何說明？

生19：如圖7，我們只要在△ABC和△A1B1C1上任意取一對對稱點P和P′來說明.

圖6圖7生20：如圖7，設點P是△ABC邊上的任意一點，點P關于直線l的對稱點為點P′，連接PP′，交直線l于點O.根據軸對稱定義知，將點P沿直線l折疊，點P與點P′重合.所以PO=P′O，∠POE=∠P′OE.因為∠POP′=180°，所以∠POE=∠P′OE=90°，即l⊥PP′.

師：你能歸納出兩個圖形成軸對稱的性質嗎？兩個圖形成軸對稱的要素是什么？

生21：成軸對稱的兩個圖形中，任何一對對應點的連線被對稱軸垂直平分；類比平移，發現兩個圖形成軸對稱的要素是對稱軸.

說明在問題“如何研究成軸對稱的圖形的性質？”引領下，學生利用活動1中的素材，充分討論，積極探究，類比發現圖形的對稱的研究點應該是圖形上的對稱點，通過連接CC1、BB1、AA1等對稱點，直觀感受到線段CC1垂直于對稱軸（位置關系），且被對稱軸平分（數量關系）；進而關注圖形上任意一對對稱點P和P′的連線PP′，發現PP′垂直于對稱軸，且被對稱軸平分.在獲得性質后，引導學生通過說理來說明性質的正確，并嘗試歸納性質內容，獲得兩個圖形成軸對稱的要素是“對稱軸”.

師：△ABC和△A1B1C1關于某直線對稱，能否根據軸對稱的性質確定其對稱軸？

生22：連接CC1，作線段CC1的垂直平分線即可.

生23：也可以再連接AA1，分別取CC1、AA1的中點M、N，經過點M、N作直線l.

說明學生利用兩個成軸對稱圖形的性質，通過畫一對特殊點連線的垂直平分線解決活動2的問題，學生根據對稱軸平分對稱點連線這一性質也可以解決問題，要引導學生關注圖形上特殊的對稱點（例三角形的頂點），并思考此時任一點并不能確定其對稱點.在這個活動中，學生嘗試從位置和數量兩個方面發現性質，首先研究三角形的頂點及其對稱點等特殊點的性質，進而通過圖形上所有點的代表（任意一點）的性質說理，從而得到兩個圖形成軸對稱的性質.在解決問題的過程中積累“研究特殊點——任意點——特殊點的性質”的經驗，豐富“特殊——一般——特殊”的思維經驗，實現從實驗幾何、直觀幾何到論證幾何的自然過渡，提高學生合情推理和演繹推理能力，培養學生的空間想象能力，發展初步的空間觀念[5].

2.3方案設計，應用性質

活動3：如圖8，請設計一個方案，畫出△ABC關于直線EF對稱的圖形.

圖8圖9生24：過點C作CC1⊥EF，CC1被EF平分，得到點C1，同樣的方法得到點B1、A1；連接A1B1、B1C1、C1A1.

說明這里是軸對稱性質的應用，學生自主做出A、B、C關于直線l的對稱點A1、B1、C1，其中滿足AA1⊥l，AA1被l平分的要求，通過作圖活動進一步深化對性質的理解.

2.4問題小結，形成經驗

活動4：（1）兩個圖形是通過何種運動方式成軸對稱的？（2）兩個圖形成軸對稱的要素是什么？

（3）研究兩個圖形成軸對稱的一般經驗是什么？

說明通過3個總結性問題，引導學生在小結中反思本節課的學習過程，尤其將從圖形的平移學習中獲得的活動經驗遷移到圖形的翻折、軸對稱的學習中，在折紙操作、抽象歸納等活動中經歷幾何概念的形成過程，在類比、說理等活動中探究幾何性質，并形成研究圖形運動的基本活動經驗，形成下面研究框圖：

3教學研討與思考

3.1教學內容的科學整合

初中數學的整體性教學是用整體方法優化教學系統，教師選擇知識和方法進行有效串聯整合，將數學知識和方法整體化設計和教學，便于學生對原有的知識進行同化和順應，建構新的知識和方法體系，通過教學內容的整體架構，使教師本身整體把握方法，學生了解、掌握解決問題的一般方法和策略，形成和積累相應的數學活動經驗[3].蘇科版八年級上冊第二章是“軸對稱圖形”，前3節的內容分別是軸對稱與軸對稱圖形、軸對稱的性質、設計軸對稱圖案，本節課是將這3節內容進行了內容整合，選擇其中的“軸對稱概念與軸對稱的性質探究與應用”作為教學內容，將軸對稱圖形及圖案設計作為后續內容，這樣設計的目的是將“軸對稱概念與軸對稱的性質探究與應用”作為進行幾何概念形成和圖形性質探究教學的素材，便于學生已有“圖形平移”學習經驗的遷移，逐步形成和積累軸對稱概念學習和軸對稱性質探究的數學活動經驗.

3.2數學活動的準確設置

數學教育家斯托利亞爾：“數學活動即數學的思維活動，學生的數學活動表現為數學學習過程中積極的思維活動”，數學基本活動經驗的積累依靠豐富多樣的數學活動的支撐.本節課就是以活動為板塊，以問題為路徑，教師和學生積極互動，從經驗的原初體驗、經驗的外顯、經驗的適度調用等三個方面進行數學活動經驗的形成、積累和發展.

3.21即時獲得經驗的原初體驗

學生經歷了大量的活動，才能形成豐富的原初體驗，只有當學生的原初體驗積累到一定的水平時，才能形成自身的感悟，獲得數學活動經驗，并在后續的學習活動加以遷移運用.在本節課中設置了3個活動，通過豐富的操作和思維活動，獲得學習“兩個圖形成軸對稱的概念和探究性質”的體驗，整節課按照思考——實驗——推理的層次展開，學生積極活動與思考，即時獲得對兩個圖形成軸對稱的學習經驗的原初體驗.

3.22適度外顯活動經驗

基本活動經驗是在學生參與數學學習的活動中積累起來的，包括數學思維的經驗和實踐的經驗.若把數學基礎知識和基本技能的學習看作是顯性的話，則基本活動經驗的積累具有隱性的特征，并不是參與了活動，就能自發形成數學活動經驗[5].學生在活動中獲得的原初的體驗，往往是模糊的、零散的，因此，需要將這些模糊的、零散的經驗清晰化、條理化、系統化，最重要的途徑就是外顯這些經驗.本節課中，要求學生思考平移的學習內容和前后順序、以及其中的道理，將圖形平移學習經驗通過框圖外顯，形成關于研究具體某一種運動的內容與方法方面的經驗，這樣的經驗為后續軸對稱的研究提供了保障.在完成軸對稱概念和性質學習后，引導學生反思本節課的學習過程，將活動經驗再次利用框圖有條理地表達出來，將經驗外顯化和條理化，為后續學習圖形的旋轉打下伏筆，感受基本數學活動經驗的一般性和適用性.

3.23適時調用活動經驗

調用是強化經驗的一個基本手段，教學中應注意適時地調用學生先前的活動經驗，在運用中進一步強化原有的經驗.本節課開始部分，引導學生回憶平移的有關概念、要素、性質，正是為了揭示平移研究的方式方法，從而在后續的軸對稱研究中，學生自然會調用這樣的經驗，開展軸對稱的研究.

3.3基本活動經驗的過程積累

331經歷概念的形成過程

章建躍博士指出“概括是人們掌握概念的前提，概念教學的核心是概括，即將凝結在數學概念中的數學家的思維打開，以典型豐富的實例為載體，引導學生展開觀察、分析事例的屬性、抽象概括共同本質屬性，歸納出數學概念”[4].本節課中，學生經歷圖形的分類與思考、圖形平移概念類比、圖形紙片翻折、三個核心詞的抽象歸納等數學活動過程，即“直線——翻折——重合”的過程，揭示兩個圖形成軸對稱的概念內涵，歸納出概念.數學概念的學習要重視形成和發展的過程，經歷“具體——抽象——具體”的認識過程，即“外延——內涵——外延”的認識過程[4]；在對概念的內涵概括中體會抽象的過程，合理描述概念，提高數學的思考水平，積累數學概念學習基本活動經驗.

3.32經歷幾何探究活動過程

3.321合理設置探究問題

問題是數學的心臟，是探究的核心.教師可以在教學過程中，根據幾何性質的特點，合理設置問題，學生在解決問題的過程中，自主探究，積累探究活動經驗[2].本節課中設置了4個主問題，即“下列每對全等圖形，可以分成幾類？”、“△ABC和△A1B1C1關于某直線對稱，如何確定它們的對稱軸？”“請設計一個方案，畫出△ABC關于直線EF對稱的圖形.”、“研究兩個圖形成軸對稱的一般經驗是什么？”，每一個主問題分解成若干個子問題，教師根據學生的學習狀態，即時追問，以問題解決過程為探究主線，讓學生在自己的最近發展區內積極活動，自主獲得幾何性質，便于基本活動經驗的積累.

3.322明確幾何探究主線

《課標》指出，在初中幾何學習中，要讓學生通過實驗、歸納、類比等方法研究幾何圖形中的數量和位置關系，從而發現圖形的性質，并通過合情推理與演繹推理等“推理”活動獲得數學結論[1].本課是整體類比圖形平移學習中的經驗，設計了三個數學活動，分別是活動1的軸對稱概念的形成、活動2的軸對稱性質的探究、活動3的軸對稱性質的應用，確定了“觀察→分類→動手操作與實驗→歸納→應用→類比”的教學主線.具體是通過折紙活動體驗圖形的翻折，抽象并歸納軸對稱的概念；通過遷移圖形平移性質的學習經驗，學生自主畫圖和教師幾何畫板演示，引導學生關注圖形上的所有點的對稱關系和性質，關注對稱點連線與對稱軸的位置關系和數量關系，并通過說理方法說明該性質的正確性和合理性；通過設計畫圖方案，完成軸對稱性質的應用，學生經歷了合情推理到演繹推理的思維活動過程，積累了一定數學實踐經驗和思維活動經驗.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011版）[S].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]章飛.數學教學設計的理論與實踐[M].南京：南京大學出版社，200910.

[3]項軍.數學整體性教學的探索與反思[J].中國數學教育，2013（9）：23-26.

[4]張愛平.基于數學本質的概念教學活動的實踐與思考[J].數學通報，2012（2）.

[5]馬文杰，鮑建生.論“數學活動經驗”的基本特征[J].數學通報，2013（9）：7-10.

作者簡介張愛平，男，1969年12月生，江蘇姜堰人，中學高級教師，南京市數學學科教學帶頭人.近幾年在省級以上發表文章12篇，其中核心期刊2篇，人大復印資料轉載3篇.參加課題研究8項.