例析“遇中點，線倍長”

在解決有關線段問題的幾何題中，如果已知條件中給出線段的中點，我們可以考慮將過中點的某一線段延長一倍作為輔助線，構造全等三角形，從而解決線段之間的關系，我們可以把這一方法叫做“遇中點，線倍長”，舉例如下：

1證線段等量關系

例1（2013煙臺中考試題）已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與A，B重合），分別過點A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F，Q為斜邊AB的中點.

（1）如圖1，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是，QE和QF的數量關系是；

（2）如圖2，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數量關系，并給予證明；

（3）如圖3，當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結論是否成立？請畫出圖形并給予證明.

圖1圖2圖3解析：（1）易得AE⊥BF，QE=QF；

（2）QE=QF.理由：如圖4，延長FQ交AE于點D，易證△AQD≌△BQF，所以FQ=DQ.因為AE⊥CP，所以QE為斜邊FD的中線，所以QE=QF.

圖4圖5（3）（2）中結論仍然成立.

證明：如圖5，延長EQ交FB于點D，易證△AQE≌△BQD，所以EQ=DQ，因為DF⊥CP，所以QF為斜邊ED的中線，所以QE=QF.

2證線段的不等關系

例2如圖6，已知：在三角形ABC中，點D是BC邊的中點，DE⊥DF，E，F分別在邊AB，AC上，求證：BE+CF>EF

解析延長ED至點G，使DG=DE，連結FG，CG，易證△BDE≌△CDG，所以BE=CG.因為FD⊥EG，DE=DG，所以EF=GF.在△CFG中，CG+CF﹥GF，所以BE+CF>EF.

圖6圖73探究線段間數量關系

例2變式已知：在直角三角形ABC中，∠A=90°，點D是BC邊的中點，DE垂直DF，E，F分別在邊AB，AC上，你能找出三條線段BE，CF和EF之間的等量關系嗎，并證明你的結論.

解析數量關系為BE2+CF2=EF2.

證明：如圖7，延長ED至點G，使DG=DE，連結FG，CG，易證△BDE≌△CDG，所以BE=CG，∠B=∠DCG.因為FD⊥EG，DE=DG，所以EF=GF.因為∠B=∠DCG，所以AB∥CG.又因為BA⊥AC，所以AC⊥CG.在△CFG中，CG2+CF2=GF2，BE2+CF2=EF2.

4證明線段垂直

圖8例3已知：如圖8，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD的中點，求證：EC⊥EB.

解析延長CE交BA延長線于點F，易證△CDE≌△FAD，所以CD=FA=1，CE=FE.因為CD=1，AB=2，所以BF=3.又因為BC=3，所以BF=BC.因為CE=FE，所以EC⊥EB.

歸納以上例題類型，都有中點或者中線做條件，我們可以通過把以線段中點為端點的線段延長一倍的方法，來構造全等三角形，為證題創造條件，實質上是進行圖形的旋轉變換，體現了轉化的數學思想.