日本教科書《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》的三處精彩

近二十年來，日本的數(shù)學(xué)教育學(xué)習(xí)和借鑒西方，并在發(fā)展的過程中形成了自己的特色和優(yōu)勢，實施了值得肯定的數(shù)學(xué)課程改革，并以較高的質(zhì)量受到了世界各國的重視.日本高中數(shù)學(xué)設(shè)置有“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”必修課程，以數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史為主線，社會生活中的數(shù)學(xué)內(nèi)容為依托，來呈現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識[1].就日本實教出版株式會社出版的《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》[2]前兩章來看，其內(nèi)容與我國人民教育出版社《數(shù)學(xué)選修3-1·數(shù)學(xué)史選講》[3]的內(nèi)容有不少共同之處，但偏重點還是有著顯著區(qū)別，存在較大差異.

《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》共五章，分別為：數(shù)與人、圖形和人、社會生活與數(shù)學(xué)、身邊的數(shù)學(xué)、身邊的統(tǒng)計.第二章“圖形和人”有6節(jié)，分別是：古代的測量和圖形的面積、金字塔的高度、勾股定理、畢達(dá)哥拉斯和勾股定理、黃金比例和二次方程、圓周率和圓的面積[2].本文分別從“知識”和“技能”兩個層次詳細(xì)呈現(xiàn)《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》“圖形和人”章節(jié)的三處精彩內(nèi)容，為我國教科書的編寫提供借鑒，以期促進(jìn)我國數(shù)學(xué)課程的改革和發(fā)展.

1古埃及土地面積的測量——面積公式

在古埃及，尼羅河經(jīng)常泛濫，泛濫過后，需要對土地的面積進(jìn)行重新測量.當(dāng)時的測量是利用繩子和樁子，巧妙地進(jìn)行.當(dāng)時從事這項測量工作的人被稱作為“司繩”.

1.1面積公式的起源——古今面積公式的對比

在古埃及，尼羅河經(jīng)常泛濫，所以那時就需要對土地的面積進(jìn)行測量.從事測量工作的“司繩”們，利用自己的測量方式測量不同的形狀的土地的面積.這些被記載在紙草書上，得以被我們發(fā)現(xiàn).

教科書中這樣寫到（本文中楷體字部分為《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中的文字）：

三角形的面積——那時關(guān)于三角形面積的的解法為【4的112值，再擴(kuò)大十倍，得到20】參見右圖（圖略），這個方法與現(xiàn)在的三角形面積的解法差不多.

【三角形的面積=112×底邊長×高】

梯形的面積——在紙莎草上還有關(guān)于梯形面積的記錄.解法為：【兩底邊相加為10，把梯形的兩底邊平均一下，就是每個邊長為5，這時圖形轉(zhuǎn)化為長方形.把5×20就得到面積為100】參見右圖，現(xiàn)在的計算公式為：

【梯形的面積=112×（上底+下底）×高】

兩者的求解方法與現(xiàn)在三角形、梯形面積的解法差不多，只是量化為特殊例子的運(yùn)算，而未抽象化.三角形面積解法的單例運(yùn)算為底邊為4、高為10的三角形的面積計算，這里沒有給出底和高的概念，同時也沒有抽象到【三角形的面積=112×底邊長×高】.梯形面積解法的單例運(yùn)算為兩底邊和為10、高為20的面積計算，這里給出了底邊的概念，但高的概念還是沒有給出，同時也沒有抽象到【梯形的面積=112×（上底+下底）×高】.《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中也沒有針對性再給出相關(guān)的論述，只將這一差異呈現(xiàn)出來，激起學(xué)生的好奇心，引導(dǎo)學(xué)生自主比較和探究.了解數(shù)學(xué)史知識的同時，鞏固幾何面積公式這一基本數(shù)學(xué)知識.我國教科書，在這方面可以參考借鑒日本的做法，從而使得教科書在尊重歷史的同時，又有啟發(fā)思維的功效.

1.2古埃及土地面積的劃分——面積公式的古代應(yīng)用

在古埃及尼羅河泛濫過后，對土地的面積進(jìn)行重新測量，這一史實之下有著如下典型的問題：

有兩塊土地（一）（二），如圖1，現(xiàn)在想通過樹所在的位置點A，重新劃分這兩塊土地，問該如何劃分，才能使得劃分后土地的面積不變.

知識點：同底等高的三角形面積相等.

解答：首先通過點C作線AB的平行線L，這條平行線與直線m相交于點D.△ABC與△ABD，有AB這條共同的底邊.另外由直線L與直線AB平行可知高相等.因此，這樣劃分之后兩塊土地的面積不變.所以，所求的劃分線就是AD.

圖1緊接之前部分的知識陳述，給出古埃及當(dāng)時相關(guān)的一實際問題，讓學(xué)生應(yīng)用抽象公式解決看似很難決策的土地劃分問題，掌握面積公式的應(yīng)用技能.這里，“面積公式”知識點應(yīng)用，即為《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》的第一處精彩.

2金字塔高度的泰勒斯測量——相似三角形

胡夫大金字塔建成于公元前2700年左右，是埃及最大的金字塔，它的高度至泰勒斯時期還沒人確切的知道.許多數(shù)學(xué)家費(fèi)盡心機(jī)，算了又算，總不能確切回答金字塔究竟有多高.

2.1相似三角形知識的導(dǎo)入——金字塔高度的泰勒斯測量

據(jù)說，公元前600年左右，古希臘七賢之一的數(shù)學(xué)家泰勒斯出游埃及，來到了尼羅河畔一直未知其確切高度的的胡夫大金字塔之下.

公元前600年左右，活躍于古希臘的數(shù)學(xué)家Thales被稱為古希臘七賢之一，有著許多的成就.據(jù)說，Thales利用兩個相似的直角三角形，測量出了金字塔的高度.

Thales為了測量金字塔的高度，首先測量出影子BC的長度，如右圖（圖略）所示.

然后把長度已知的木棒，垂直豎立，測量影子EF的長度.

因為△ABC與△DEF相似.所以：

BC∶EF=AC∶DF.

傳言Thales就是利用這個方法求得金字塔的高度的.

簡便操作之下，最大疑惑巧然揭曉，數(shù)學(xué)“來源于生活，應(yīng)用于生活”的典型史實事例躍然紙上，學(xué)生學(xué)到知識技能的同時，對于數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的過程和方法也留下生動的印象.原本枯燥乏味的數(shù)學(xué)，在這一數(shù)學(xué)應(yīng)用展露無疑的數(shù)學(xué)史例子之下，顯得是那么的功效巨大，學(xué)生對待數(shù)學(xué)的情感態(tài)度上也將經(jīng)受一次洗禮.

2.2古埃及金字塔高度的求解——相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用

在呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史實之后，將史實背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題解決方法揭示出來，要求應(yīng)用到身邊校園的實際問題之中.

問題：利用Thales測量金字塔的方法，測量校園里的樹的高度.

如右圖（圖略）所示：樹與其陰影構(gòu)成△ABC，木棒與其陰影構(gòu)成三角形DEF，且△ABC與△DEF相似.因此，AC∶DF=BC∶EF.

現(xiàn)在：BC=48m，EF=12m，DF=18m，AC∶18=48∶12，12×AC=48×18，AC=48×18÷12=72.所以，數(shù)的高度為72m.

類似于之前金字塔高度的問題，給出校園生活中可遇的“樹的高度”問題，提供給學(xué)生模仿、演練的機(jī)會，讓學(xué)生感受完數(shù)學(xué)家魅力后，能在實際操作中得到更好的體驗和感悟.這里，“相似三角形”知識點應(yīng)用，即為《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》的第二處精彩.

3希臘雅典帕臺農(nóng)神廟——黃金比例和二次方程

公元前400年左右，在希臘雅典一山丘上建立起來的帕臺農(nóng)神廟.從正面看，是一個長方形，其立面高與寬的比例為19比31，接近希臘人喜愛的“黃金分割比”，數(shù)學(xué)上一般稱為“黃金矩形”.

3.1希臘雅典帕臺農(nóng)神廟形狀的秘密——黃金比例和二次方程

黃金矩形，有著如下《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》描述并應(yīng)用的性質(zhì).

所謂黃金比例長方形，如右圖所示（圖略），從整個長方形中切出一個正方形，剩下的長方形和原來的長方形是相似長方形.

設(shè)黃金矩形的寬為1，長為x，求x的值.解法如下：

因為切出的長方形和原來的長方形相似，所以有1∶x=（x-1）∶1，

公式整理得x2-x-1=0，

解得x=1±512，

因為x>0，所以x=1+512，

所以黃金矩形的長寬比例為1+512.

這個比例被稱為黃金比例，被廣泛運(yùn)用于建筑物和美術(shù)作品中.建筑物和美術(shù)作品中數(shù)學(xué)知識的呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生多從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

3.2線段的黃金比例分割——黃金美學(xué)和二次方程的應(yīng)用

黃金分割提供了一種完美的線段劃分方法，不僅能夠幫助學(xué)生鞏固一元二次方程方面的知識，而且能夠帶來視覺上的美好享受.

問題：如圖2，線段AB被P點所分，BC垂直于AB，BC=AP，通過A點作AP′，平行于BC，形成長方形AP′CB.再以PB為一邊作正方形PDEB.且長方形AP′CB與正方形PDEB的面積相等.求P點應(yīng)該怎樣劃分線段AB.

圖2知識點：用這樣的方式表示的方程ax2+bx+c=0，稱為X的一元二次方程.由ax2+bx+c=0這個方程可得到公式x=-b±b2-4ac12a.

解答：設(shè)AP=1，PB=x，

所以由“長方形AP′CB與正方形PDEB的面積相等”可得：x·x=1·（x+1），

公式整理得x2-x-1=0，

解得x=1±512，即為黃金比例，

故把線段AB按黃金比例劃分即可.

練習(xí)：有一個正方形的花壇，把這個花壇的豎向的邊減少2cm，橫向的邊增加5cm，變成一個長方形，這個長方形的面積為20cm2.求原來正方形花壇的邊長.

給出抽象化的黃金比例的幾何推導(dǎo)，長方形AP′CB與正方形PDEB面積相等條件下的點應(yīng)該劃分線段的比例，學(xué)生在純知識背景下加深對公式的理解.同時給出實際生活中“花壇邊界”的練習(xí)，理論聯(lián)系實際，給予學(xué)生實際應(yīng)用的途徑，鞏固黃金比例公式這一知識點以及應(yīng)用的技能.這一思想內(nèi)容的編排，在我國教科書中還是有著同樣體現(xiàn)的，但思想內(nèi)容的條理性還是可以參考一下《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》的內(nèi)容.這里，“黃金比例和二次方程”知識點應(yīng)用，即為《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》的第三處精彩.

4總結(jié)和啟示

總的看來，日本《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)》“圖形和人”章節(jié)中的這三處精彩有著追溯淵源、形象生動、結(jié)合實際等多方面的優(yōu)點可取之處，分別體現(xiàn)在面積公式部分的巧用數(shù)學(xué)史實、相似三角形部分的活用數(shù)學(xué)典例、黃金比例與二次方程部分的聯(lián)系建筑美學(xué).

4.1追溯淵源：巧用數(shù)學(xué)史實——面積公式部分的精彩

結(jié)合當(dāng)今社會發(fā)展，刪減不必闡述的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史，重點選取與數(shù)學(xué)知識緊密相關(guān)的數(shù)學(xué)史背景：古埃及“司繩”對土地面積的測量以及相關(guān)古今面積公式的原始素材；古希臘泰勒斯利用相似三角形對金字塔高度的巧妙計算等.在數(shù)學(xué)史實的背景下學(xué)習(xí)知識點，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識點的本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生追溯知識淵源的興趣，促進(jìn)學(xué)生深入探究數(shù)學(xué).

特別值得注意的是，在知識點的呈現(xiàn)上，運(yùn)用“古今對比”的方式，讓學(xué)生進(jìn)行直觀的對比和探究，從而認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識是出于實際需要，一點點抽象概括而來.抽象概括的方式，則是從特殊到一般，然后再廣泛應(yīng)用到具體問題解決之中，就像22小節(jié)中解決“測量校園中樹的高度”這一實際問題.這一思想，在今天同樣具有廣泛的實用價值.我國教科書，在這方面可以參考借鑒《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》的做法，從而使得教科書尊重歷史與教書育人、啟迪思維的功能能夠相得益彰.

4.2形象生動：活用數(shù)學(xué)典例——相似三角形部分的精彩

教科書中適當(dāng)引用一些數(shù)學(xué)典例，往往能夠提高教科書的可讀性和趣味性.在相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用中，古埃及金字塔高度的泰勒斯測量的呈現(xiàn)和描述，不僅使學(xué)生了解數(shù)學(xué)史實，而且更好地鞏固了數(shù)學(xué)知識，加深對相似三角形性質(zhì)的理解.同時，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)自古以來，都是“來源于生活，應(yīng)用于生活”，感受到數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)家的無限魅力.

活用數(shù)學(xué)典例，將枯燥的數(shù)學(xué)知識生活化、形象化、生動化，使學(xué)生更加輕松的學(xué)習(xí)，更快更好的理解知識點，而且能夠在學(xué)生鞏固知識的同時，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)》在這方面有出彩之處，但也還有很大改善和提升的空間.

4.3結(jié)合實際：聯(lián)系建筑美學(xué)——黃金比例與二次方程部分的精彩

通過黃金矩形的帕臺農(nóng)神廟的演算，“把整個長方形切成一個正方形和一個長方形”，根據(jù)“切出的長方形和原來的長方形是相似長方形”演算黃金比例的計算，結(jié)論的求解變得不再枯燥和乏味.應(yīng)用知識在生活中實在存在的建筑或美術(shù)作品等來傳授數(shù)學(xué)知識，使得數(shù)學(xué)知識有更好的寄托和聯(lián)想.另外，當(dāng)今社會信息高速發(fā)展，學(xué)生在課外還可以通過網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行深入的了解和學(xué)習(xí).

抽象化的黃金比例的幾何推導(dǎo)（長方形AP′CB與正方形PDEB面積相等條件下的點應(yīng)該劃分線段的比例），使得學(xué)生能夠在純知識背景下加深對公式的理解，并嘗試解決實際生活中“花壇邊界”的練習(xí)，理論聯(lián)系實際，鞏固黃金比例公式這一知識點以及應(yīng)用的技能.

總體上，《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)》“圖形和人”章節(jié)的這三處精彩之間關(guān)系緊密、環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn).每一節(jié)為下一節(jié)做鋪墊，內(nèi)容安排十分合理.先在第1節(jié)闡述面積公式方面的知識，包括三角形面積公式，讓學(xué)生對三角形有一定的了解，這有助于第2節(jié)相似三角形的學(xué)習(xí).而相似三角形的相關(guān)性質(zhì)事實上是通過三角形間的相似關(guān)系得到，然后為接下來的黃金比例學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).其后的黃金比例實質(zhì)上就是一個比例，由長方形（長為1+x，寬為1）和正方形（邊長為x）的幾何面積相等推導(dǎo)得到.在了解數(shù)學(xué)史知識的同時，鞏固基本數(shù)學(xué)知識；掌握知識點的同時，給出抽象化的黃金比例的幾何推導(dǎo)，探索本質(zhì).這樣能夠使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)、理解、吸收、掌握知識點，從而達(dá)到更好的教學(xué)效果，更快的實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).我國教科書，可以在這些方面參考借鑒《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》的做法.

參考文獻(xiàn)

[1]陸吉健，夏奕雯，胡優(yōu)曼，朱哲.中日高中“數(shù)學(xué)史”教科書的差異及啟示[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2011（1）：50-60.

[2]岡本和天.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].日本東京：實教出版株式會社，2010.

[3]劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)選修3-1[M].北京：人民教育出版社.2004.

作者簡介陸吉健，男，課程與教學(xué)論（數(shù)學(xué)）專業(yè).發(fā)表文章數(shù)篇.