一個錯誤的證法與思考

左效平老師《再談“1+2+3與1×2×3”性質與拓展的巧證》[1]一文給出的證法的第一段如下：

不妨設a

這個證明顯然是錯誤的，首先“設b=t13”實際已默認了t是3的倍數，假如能這樣設，可得a×t13×c=t，即t=0，或ac=3，以下很容易得到結論；其次“則a=t13-1，c=t13+1”更是默認了a，b，c是連續整數，毫無道理；第三，依文中所設，當t=0時，只能求得b=t13=0，a=t13-1=-1，c=t13+1=1，無法得到一個為0，另兩個數必為互為相反數.

筆者也給出一種證法，與大家分享：不妨設a

若a，b，c都是正整數，則a+b+c=abc<3c，所以ab<3，只有a=1，b=2，此時c=3；

若a，b，c都是負整數，則a+b+c=abc>3a，所以bc<3，只有b=-2，c=-1，此時a=-3；

若a<0，b<0，c>0，則a+b<0，ab>1，因為a+b+c=abc，所以a+b=c（ab-1）>0，與a+b<0矛盾，即這種情況不存在；

若a<0，b>0，c>0，則b+c>0，bc>1，因為a+b+c=abc，所以b+c=a（bc-1）<0，與b+c>0矛盾，即這種情況不存在；

若a，b，c中有一個為0，則a+b+c=abc=0，另兩個數必為互為相反數.

綜上所述，符合條件的數只有1，2，3或者-1，-2，-3或者-n，0，n（其中n為正整數）.

參考文獻

[1]左效平.再談“1+2+3與1×2×3”性質與拓展的巧證[J].中學數學雜志，2013（8）：63.