立足教材，內(nèi)蘊(yùn)深厚，耐人尋味

圖1泰州2013中考數(shù)學(xué)卷第25題：如圖1，矩形ABCD中，點(diǎn)P在邊CD上，且與C、D不重合，過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，連接PQ，M為PQ的中點(diǎn).

（1）求證：△ADP∽△ABQ；

（2）若AD=10，AB=20，點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng)，設(shè)DP=x，BM2=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求線段BM長(zhǎng)的最小值；

（3）若AD=10，AB=a，DP=8，隨著a的大小的變化，點(diǎn)M的位置也在變化.當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，求a的取值范圍.

1試題的形成

這道題的最初素材來(lái)源于課本上的一道練習(xí)題：如圖3，E為正方形邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△ABF，問(wèn)△AEF是什么三角形？

圖2圖3對(duì)這道題，取EF的中點(diǎn)G，改編成下面這道題：如圖2，E為正方形邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，得△ABF，G為EF中點(diǎn).下列結(jié)論：（1）G在△ABF的外接圓上；（2）EC=2BG；（3）B、G、D三點(diǎn)共線；⑷若S四邊形BGEC=114S正方形ABCD，那么E為DC的黃金分割點(diǎn).正確的有.

后來(lái)命題組覺(jué)得這道題比較好，又決定將它改編為壓軸題.將正方形改為長(zhǎng)方形，原來(lái)的第（2）小題是這樣的：若AD=10，AB=20，點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)DP等于多少時(shí)？PC1BM=24113.由于這個(gè)問(wèn)題比較難，又改掉了，最終就形成了第25題.

2試題的特色

中考后，這道題收到師生的廣泛好評(píng)，普遍認(rèn)為這道題具有鮮明的特色.

特色1：簡(jiǎn)潔明快，突出課標(biāo)理念

本題是一道以三角形、矩形為載體的幾何說(shuō)理題，重點(diǎn)考查了三角形相似、三角形中位線、直角三角形斜邊的中線、勾股定理、二次函數(shù)等知識(shí)，通過(guò)線段取值的變化、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)將零散的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)，擺脫了對(duì)知識(shí)的單一考查，呈現(xiàn)形式突破常規(guī)，不落俗套，既尊重學(xué)生數(shù)學(xué)水平的差異，又有區(qū)分度，體現(xiàn)了“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)”的基本理念.三角形、矩形“聯(lián)姻”是傳統(tǒng)圖型，學(xué)生在熟悉的背景中舒緩緊張情緒，彰顯了命題者的人文關(guān)懷，體現(xiàn)了命題者深入挖掘教材的智慧.

特色2：推陳出新，考查心理素質(zhì)

中考命題應(yīng)根據(jù)教材，推陳出新，似曾相識(shí)又有不同.此題的圖形在蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中有多處熟悉的蹤影.（1）八年級(jí)下冊(cè)第P102第6題，P130“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”；（2）九年級(jí)上冊(cè)P1例4，P27第12題.此題第1問(wèn)證明相似，學(xué)生很容易入手，第2問(wèn)筆鋒一轉(zhuǎn)，出現(xiàn)一張陌生面孔“BM2=y”，一些學(xué)生失去了思考的方向，花了很長(zhǎng)時(shí)間，也沒(méi)有找到突破口；另一些學(xué)生從容淡定，由“BM2”聯(lián)想開(kāi)去，想到三角形相似，發(fā)現(xiàn)題中無(wú)公共邊，此路不通，迅速調(diào)整思路，將BM2與勾股定理聯(lián)系一起，即可作出輔助線MN⊥QC于N，從而輕松解題.第3問(wèn)的難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于第2問(wèn)，但（2）問(wèn)解答不好，有的學(xué)生就直接放棄了（3）問(wèn)，甚是可惜.中考，是知識(shí)、能力與心理素質(zhì)的較量，此題有這樣的鑒別功能，值得師生回味.

特色3：變通思維，考查符號(hào)意識(shí)

數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，是人們用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的工具.本題的關(guān)鍵是將BM、BN、MN用x的代數(shù)式來(lái)表示.即將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，也就是“數(shù)學(xué)化”.但與考生交流時(shí)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往沒(méi)有這種“轉(zhuǎn)換”的意識(shí).其實(shí)，在不少幾何計(jì)算題中都是用符號(hào)來(lái)表示相關(guān)的線段.本題考查的就是用不同語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題的轉(zhuǎn)換能力.

特色4：夯實(shí)基礎(chǔ)，檢查運(yùn)算能力

“培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力”是數(shù)學(xué)新課標(biāo)提出的教學(xué)目標(biāo)之一.本題在找出解題思路后，要在（1）問(wèn)的基礎(chǔ)上，根據(jù)“AD、AB的長(zhǎng)度，DP=x，BM2=y”等已知條件，用x、y的代數(shù)式表示線段“BQ、QN、BN”，再根據(jù)勾股定理列出二元二次方程（即二次函數(shù)解析式）.據(jù)了解，學(xué)生思路正確，計(jì)算失誤的不在少數(shù).解答本題需要學(xué)生有清晰的目標(biāo)意識(shí)，扎實(shí)的基本功，才能提高計(jì)算的正確性.

特色5：形式新穎，突出對(duì)教與學(xué)的導(dǎo)向功能

（1）引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，積累經(jīng)驗(yàn)

新課程改革給教學(xué)帶來(lái)的最大變化就是教與學(xué)方式的改變.但在復(fù)習(xí)教學(xué)中，很多教師把數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)等同于做題目，把大量時(shí)間花在解題與講題上，用操練經(jīng)驗(yàn)代替理性思考，導(dǎo)致學(xué)生善于模仿而疲于思考，一遇到陌生的問(wèn)題就一籌莫展.本題讓學(xué)生處在熟悉又陌生的情境中，不能依靠簡(jiǎn)單的知識(shí)、現(xiàn)成的模式來(lái)解決問(wèn)題，需要從已知條件出發(fā)，通過(guò)轉(zhuǎn)化等途徑才能找到解題思路.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中要讓學(xué)生經(jīng)歷新知識(shí)的展開(kāi)、深入、運(yùn)用的過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)思想和方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).同時(shí)，要以知識(shí)為載體，把分析、思考、交流的時(shí)空留給學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生積極主動(dòng)的探索精神、不怕困難的品質(zhì)和勇于挑戰(zhàn)的勇氣，讓學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的基礎(chǔ)上提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（2）重視學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)

目前，中學(xué)生運(yùn)算能力的狀況很差，不少老師埋怨：“學(xué)生連簡(jiǎn)單的運(yùn)算都過(guò)不了關(guān)，甚至數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好的學(xué)生運(yùn)算結(jié)果也常出差錯(cuò).”這些狀況的出現(xiàn)原因是多方面的.有的學(xué)生不明算理，對(duì)提高運(yùn)算能力缺乏足夠的重視，他們總是把“粗心”“馬虎”作為借口，誤認(rèn)為“反正會(huì)做，考試時(shí)細(xì)心一點(diǎn)就行了”；有相當(dāng)多的教師注重解題方法和思路的引導(dǎo)，而忽視運(yùn)算過(guò)程的合理性、簡(jiǎn)捷性的必要指導(dǎo).這樣不僅影響了學(xué)生思維能力的發(fā)展，也影響教學(xué)質(zhì)量的提高.培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力重在滲透，貴在堅(jiān)持，要從解題的準(zhǔn)確性，解題的速度，運(yùn)算的技巧、靈活性，以及如何克服運(yùn)算中的心理障礙等方面使學(xué)生領(lǐng)悟運(yùn)算能力的實(shí)質(zhì)，從而提高運(yùn)算能力.

（3）及時(shí)體悟，提高效益

“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)解題”.學(xué)數(shù)學(xué)要練，但未必做得越多越好，每次練習(xí)后都必須及時(shí)反思總結(jié)，反思解題過(guò)程的來(lái)龍去脈，并有意識(shí)地歸納提煉一些基本的解題方法與策略等.例如，在解決本題時(shí)，可以提出：此題難在哪里？與BM2相關(guān)的問(wèn)題是什么？應(yīng)抓住什么核心知識(shí)？此路可行嗎？解題也要大將風(fēng)范，要懂得“中斷是為了切換”，堅(jiān)持“弄清問(wèn)題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”四大步驟的訓(xùn)練.長(zhǎng)期如此，便能激活思維活躍度，優(yōu)化知識(shí)框與問(wèn)題解決的途徑.

總之，在平時(shí)的教與學(xué)中，加強(qiáng)通法研究，不斷積累經(jīng)驗(yàn)，做解題過(guò)程中的“有心人”，勤于反思，慧眼識(shí)題，善于從不尋常的題型中發(fā)現(xiàn)、運(yùn)用核心知識(shí)，從而“入寶山而不空返”，提升思維能力.

作者簡(jiǎn)介朱月紅，女，1970年10月生，江蘇泰州人，在職教育碩士，中學(xué)高級(jí)教師.江蘇省優(yōu)秀教師，泰州市學(xué)科帶頭人，高港區(qū)中學(xué)數(shù)學(xué)名師工作室領(lǐng)銜人，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)有效性和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的研究.