難得一見的好題為何得分不盡人意

筆者參加了2013年浙江省舟山市初中畢業生學業考試數學試卷命題及第22題的閱卷工作，命題時我們懷著美好的懂憬，把握試題特色與亮點，圍繞立足基礎，注重教材開發；體驗數學活動，提高探究能力；穩中求新，關注學生學習能力；突出過程與思想方法的考查，難度系數主觀愿望控制在0.65左右.但閱卷時美好的愿望成為泡影，實考難度系數為0.43，考生的平均得分為4.33分（滿分10分），學生在解答過程中出現了許多錯誤，得分率偏低，值得我們在教學中反思.本文試就試題特色及考生解答中的典型錯誤作一分析，希望對今后的數學教學有一些啟示.

原題呈現：小明在做課本“目標與評定”中的一道題：如圖1，直線a，b所成的角跑到畫板外面去了，你有什么辦法量出這兩條直線所成的角的度數？

（1）①請幫小明在圖2的畫板內畫出你的測量方案圖（簡要說明畫法過程）；②說出該畫法的依據.

（2）小明在此基礎上進行了更深入的探究，想到兩個操作：

①在圖3的畫板內，在直線a與直線b上各取一點，使這兩點與直線a，b的交點構成等腰三角形（其中交點為頂角的頂點），畫出該等腰三角形在畫板內的部分.

②在圖3的畫板內，作出“直線a，b所成的跑到畫板外面去的角”的平分線（在畫板內的部分），只要求畫出圖形，并保留作圖痕跡.

請你幫小明完成上面兩個操作過程.（必須要有方案圖，并要畫在畫板內）

圖1圖2圖31試題特色與亮點

1.1試題立意新穎，構思別具匠心

本題取材于實際生活中的具體情境，以課本內容為載體，以問題應用與解決問題的思維活動為主線，構思巧妙.試題結構體現生成與應用的基本過程，新穎別致且不失嚴謹.充分考慮和兼顧了不同學生的思維方式、思維水平、巳有的數學活動經驗等方面的差異.注重考查學生的實踐操作、自主探究能力，呈現了一個從認識、理解、解釋到應用與拓展的完整的數學探究過程.滲透了用運動、變化、聯系、發展的觀點來思考問題的轉化思想.命題者執著于能力立意、素養立意的理念，是一道難得一見的好題，值得我們體會、學習.

1.2突出知識聯系，關注經驗積累

“直線a，b所成的角跑到畫板外面去了”的部分是沒有提供圖形的，這暗示著學生必須動手操作、自主探索，有利于學生積累活動經驗.

從第（1）題到第（2）題的問題解決過程中，都運用了角的平移.從第（2）①題到第（2）②題的問題解決過程中，都運用了等腰三角形的有關知識，考題突出知識之間的聯系.學生通過第（1）題的探究，即“兩直線平行，同位角相等”的探索過程，積累了一些活動經驗，這種活動經驗的遷移對第（2）題有一定的幫助，事實上，第（2）題所運用的觀察、試驗、探究等數學活動經驗與第（1）題中的數學活動經驗是一致的，關鍵是學生能否真正地將所獲得的經驗與方法在新的問題情境中加以運用與實施.此題在關注知識內涵的同時，充分關注到對學生實踐和探究能力的考查.

1.3關注過程方法，重視思維能力

數學教學是一種“過程教學”，它即包括知識的發生、形成、發展的過程，也包括人的思維過程.該題從尋找相等的角，構造等腰三角形，到等腰三角形“三線合一”性質的應用，開發了知識的“生長過程”，實現過程與結果并重.但思維過程是隱性的、開放的.解答過程中，以學過的知識結構作為起點，從尋找相等的角為切入點，讓學生探索研究.以已有的方法結構作為起點，在作PC∥a或PC∥b的基礎上，只要相應的平移即可截得等腰三角形與“原等腰三角形”相似.再運用等腰三角形“三線合一”性質作出角平分線，從第（1）～（2）題設問，創設一種能使學生積極思維的環境，給學生提供了思維的空間，讓學生在自覺、主動、深層次的參與過程中，體驗探索活動和思維活動的高級境界.

2典型失誤及分析

失誤1：忽視限制條件，第（1）～（2）題常見的錯誤（如圖4）：就是延長到畫板外面形成角進行測量，或是延長到畫板外面形成角再作兩腰相等，從而作出等腰三角形，或再作角平分線.

分析：學生理解問題不全面，不能深刻地理解題中信息之間的關系并有效地將它們運用到解題過程中，同時，主觀臆測，任意想象，缺乏空間觀念也是造成失誤的主要原因.

失誤2：不習慣于畫圖，不會合理使用學具.

分析：對于需要畫圖的數學題，有些學生不會合理使用學具，對第（1）、（2）題是否要按尺規作圖不理解，看不懂的亂畫現象嚴重.有些學生不能主動地按問題的要求作出圖形，不能充分發揮學具的功能.如第（2）②題，部分學生作底邊上的中垂線，并沒有按尺規作圖要求解題.

失誤3：數學知識上的缺陷所造成的錯誤.

分析：如圖5，有部分學生取AB邊上的中點和底邊上的中點，連CD就是所求的角平分線.學生雖然了解等腰三角形頂角的角平分線就是底邊上的中垂線，但錯誤地將中線理解成中垂線或角平分線.

圖4圖5圖6失誤4：缺乏操作實驗的經驗.

分析：在平時教學中，不少教師或學生怕浪費時間，不太重視操作實驗，學習時遇到操作實驗類問題，源于形式，學生參與程度不夠，數學操作實驗方面的經驗不足，當遇到這類題目時，不知道操作程序和具體的操作要點，因此很難順利解答這類操作實驗探究題.

失誤5：解題策略上出現偏差，造成思路受阻或解題時間過長以致做錯或即便做對也因費時費事而有策略性錯誤.

分析：棄簡求繁，如圖6，第（1）題作兩條平行線，由平行四邊形對角相等，答案雖然正確，但對解決第（2）題帶來麻煩.第（2）①題因學生不能有效地構造出等腰三角形，解題時間過長，對第（2）②題思路影響而造成策略性錯誤.再看作圖痕跡，等腰三角形的底邊是湊出來的.

失誤6：由于心理障礙或缺乏正確的心理態勢而導致錯誤.

分析：由于學生閱讀理解和解決問題能力差，不能從題目中讀出有效的信息，特別是“直線a，b所成的角跑到畫板外面去了”，并把其余部分的圖形放置畫板內探究，學生一時想不到測量辦法，造成心理緊張而導致錯誤.從卷面上很難了解學生解題時造成錯誤的真實原因，但從考后師生交談和推測可知，由心理因素出錯的約占20%.

3教學反思

3.1本題究竟難在哪里

本題源于浙教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》八年級上冊第一章“目標與評定”中的一道題.源于教材、高于教材，試題的呈現形式新穎獨特，命題者打破了傳統的“條件——結論”型的推理模式，提供了一個“探究——猜想——實驗——說理”的數學環境.本題究竟難在哪里？筆者在閱卷的同時也在努力從學生的角度來思考這個問題.第（1）題是課本原題，應該不難，就是因為該題對學生有空間想象能力的要求.但我們也認識到初中學生的空間想象能力還處于發展期，所以用課本原題作為考題，使學生從直觀和操作出發并且回歸到直觀，尊重了學生的認知規律.第（2）①題構造等腰三角形并考查逆向思維的能力，命題立意較高，有一定的難度，試題需要一定的區分度.第（2）②題“直線a，b所成的角跑到畫板外面去了”的部分是沒有提供圖形的，因此在畫板內探究，對學生探究能力有一定的要求.但學生只要把等腰三角形底邊上的中垂線轉化為角平分線，問題就迎刃而解了.

3.2是命題的迷失還是教學的遲滯

試題把握知識內容和學生的認知規律設計適當的探究性問題，通過問題的設置讓學生感受通過平移可以改變角的位置，從而進一步探究出等腰三角形的畫法，反過來將等腰三角形的底角平移到相應的位置，最后探究出跑出去的角的平分線的畫法，找到數學知識與生活實際問題的結合點.在這一探究活動過程中積累了數學活動經驗，培養學生逆向思維的能力，考查學生的探究與發現能力，命題應該符合新課標理念.那么后者應該反思，我們的教師在教學過程中，脫離課本，數學技能缺失，缺乏數學活動經驗，對數學思想方法的應用意識不強，學生閱讀理解、探究問題和解決問題的能力差.

3.3關注學生發展，體現教學價值

《課標（2011年版）》倡導的理念：“有效的數學活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式”，本題評價關注的是新情境中學生學習的過程，考查關注的是新領域中學生研究的能力.因此在平時教學過程中，以學生為主體，發揮學生的動手操作能力與推理能力，這也正是命題者的理想與追求.同時，也將教師和學生從“題海”中拯救出來.基于命題者這樣的認識、思考與實施，必然對數學教學起到良好且積極的導向作用，必須會促進教師教學行為與學生學習行為的自我超越.

作者簡介俞凱，男，1957年生，浙江普陀人，中學高級教師，舟山市初中數學學科帶頭人，舟山市普陀區初中數學名師工作室首席導師，主要研究中學數學命題和課堂教學，在全國多種刊物發表中小學數學教育教學論文30余篇.

徐海華，男，1970年生，浙江定海人，中學高級教師，定海第五中學教務處主任，定海區中學數學骨干教師.