探究幾個二次根式的和差位于哪兩個連續整數之間

下面結合一道中考試題，探究幾個被開方數是正整數的二次根式的和、差位于哪兩個連續整數之間問題，并得出問題的一般解法，供參考.

1一個二次根式與整數的和或者是差

例1（2013山東棗莊中考題）估計6+1的值在（）

A.2到3之間B.3到4之間

C.4到5之間D.5到6之間

解析估計6+1的值，關鍵是確定6位于哪兩個相鄰的正整數之間，即是確定6最接近的兩個完全平方數，由于4與9是6最接近的兩個完全平方數，因此6在4與9之間，即是2<6<3，運用不等式的性質，則2+1<6+1<3+1.

即是3<6+1<4.

點評二次根式的值的范圍的界定，一般先從被開方數最接近的兩個完全平方數入手，二次根式的值在兩個完全平方數的算術平方根之間，對于m±n（m、n都是正數）的情況，應聯系不等式的性質，推測其值的范圍.

2兩個二次根式的和、差問題

例2確定13-2在哪兩個正整數之間？

解析由于3<13<4，1<2<2，運用不等式性質則-2<-2<-1，則13-2<13-2<13-1，3-2<13-2<4-1，所以13-2在正整數1與3之間.顯然1與3不是連續正整數，為了進一步確定在哪兩個連續正整數之間，進一步變化原二次根式，把原二次根式13-2平方即是15-226，226=104，104在兩個連續的完全平方數100與121之間，因此100<104<121，即10<104<11，則-11<-104<-10，15-11<15-104<15-10，即4<15-104<5，因此4<13-2<5，即2<13-2<5，而2<5<3，則2<13-2<3.

即13-2在正整數2與3之間.

點評形如m±n（m、n都是正數）的二次根式值的范圍的確定問題，分別確定m、n最接近的兩個完全平方數，結合不等式性質解答，如果得出結果不是位于兩個連續整數之間，可以把原二次根式平方，結合不等式性質進行判斷.

3多個二次根式的和、差問題

例3判斷二次根式5+3-6-2的值在哪兩個連續整數之間？

解析5+3-6-2=（5+3）-（6+2），

（5+3）2-（6+2）2=（8+215）-（8+212）=215-212>0，因此

5+3-6-2>0，

（5+3-6-2）2

=（5+3）2-2（5+3）（6+2）+（6+2）2

=（8+215）+（8+212）-2（30+10+32+6）

=16+215+212-2（30+10+32+6）

=16+215+212-230-210-62-26

易得7<215<8，6<212<7，-11<-230<-10，-7<-210<-6，

-9<-62<-8，-5<-26<-4，

16+7+6-11-7-9-5<16+215+212-230-210-62-26<16+8+7-10-6-8-4，即是

-3<16+215+212-230-210-62-26<3，而（5+3-6-2）2>0，

則0<16+215+212-230-210-62-26<3，0<5+3-6-2<3，1<3<2.則0<5+3-6-2<2，取0與2的平均數1，辨析5+3-6-2-1的符號即可.

5+3-6-2-1=5+3-（6+2+1）.

（5+3）2-（6+2+1）2

=8+215-8-212-26-22-1

=215-212-26-22-1.

7<215<8，-7<-212<-6，-5<-26<-4，-3<-22<-2，

7-7-5-3-1<215-212-26-22-1<8-6-4-2-1，

-9<215-212-26-22-1<-5，

所以215-212-26-22-1<0，5+3-6-2<1，0<5+3-6-2<1，

二次根式5+3-6-2的值在兩個連續整數0與1之間.用計算器，易得

5+3-6-2

≈010441547991239384293764721132156.

因此上面推理正確.

一般方法：一般地，辨析幾個二次根式所組成的無理數的位于哪兩個連續整數之間，可以先確定這個無理數的符號，通過計算這個無理數的平方，結合不等式性質辨析每一個無理數相鄰的兩個連續整數，確定原無理數的范圍，如果判斷得出這個無理數位于不是相鄰的兩個整數之間，取首尾兩個整數的平均數，用原數減去這個平均數，通過計算正數之和與負數之和的平方差，辨析原數與平均數的大小，縮小范圍，如果仍不易判斷，也可以再次計算平方差結果中正數之和與負數之和的平方差進行判斷，從而確定原二次根式組成的無理數所相鄰的兩個連續整數值.

練習：確定6-2-7在哪兩個整數之間？

作者簡介魏祥勤，男，1964年10月生.中學高級教師，首批河南省骨干教師，在《中學數學雜志》等發表文章102篇.