一元二次方程考法面面觀

縱觀2013各地的中考數(shù)學(xué)試卷，有關(guān)考查一元二次方程知識(shí)的題型主要有填空題、選擇題、解答題及綜合題，為幫助教師有效的引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好這部分內(nèi)容，今結(jié)合具體題目（所選題目均為2013年中考題）就主要考查類型總結(jié)如下：

1考查對(duì)一元二次方程有關(guān)概念的理解與應(yīng)用

與一元二次方程有關(guān)的概念主要指，能正確理解并能靈活運(yùn)用一元二次方程的概念；會(huì)判斷某一個(gè)數(shù)是否為給定一元二次方程的一個(gè)根；會(huì)利用一元二次方程的求根公式求方程的解；會(huì)利用根的判別式判別方程是否有實(shí)根、兩個(gè)實(shí)根是否相等；會(huì)根據(jù)根的情況確定未知系數(shù)的取值范圍；會(huì)利用根與系數(shù)的關(guān)系解答有關(guān)的問題等.

例1（濟(jì)南市）已知x2-2x-8=0，則3x2-6x-18的值為（）

A.54B.6C.-10D.-18

解析因?yàn)閤2-2x-8=0，x2-2x=8，所以3x2-6x-18=3（x2-2x）-18=3×8-18=6.所以選B.

例2（煙臺(tái)市）已知實(shí)數(shù)a，b分別滿足a2-6a+4=0，b2-6b+4=0，且a≠b，則b1a+a1b的值是（）

A.7B.-7C.11D.-11

解析本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以把a(bǔ)和b看做方程x2-6x+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以a+b=6，ab=4，所以b1a+a1b=b2+a21ab=（a+b）2-2ab1ab=62-2×414=7.

點(diǎn)撥一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系常見的應(yīng)用有：驗(yàn)根、確定根的符號(hào)；求與根相關(guān)的代數(shù)式的值；由根求出新方程等.

例3（濰坊市）關(guān)于x的方程kx2+（1-k）x-1=0，下列說法正確的是（）

A.當(dāng)k=0時(shí)，方程無解

B.當(dāng)k=1時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解

C.當(dāng)k=-1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解

D.當(dāng)k≠0時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解

解析本題主要考查一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.當(dāng)k=0時(shí)，原方程變?yōu)橐辉淮畏匠蘹=1，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)k=1時(shí)，原方程變?yōu)橐辉畏匠蘹2-1=0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解：x1=1，x2=-1，故B項(xiàng)也錯(cuò)誤；當(dāng)k≠0時(shí)，原方程的判別式Δ=（1-k）2+4k≥0，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，只有當(dāng)k=-1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解.故C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤.選C.

2給定一元二次方程根的情況，求方程中某字母的值

例4（淄博市）關(guān)于x的一元二次方程（a-6）x2-8x+9=0有實(shí)根.

（1）求a的最大整數(shù)值；

（2）當(dāng)a取最大整數(shù)值時(shí)，①求出該方程的根；②求2x2-32x-71x2-8x+11的值.

分析（1）利用一元二次方程有實(shí)根的條件Δ≥0且a-6≠0，列出不等式求出a的取值范圍，即可得到a的最大整數(shù)值；（2）可把x2-8x的值整體代入求2x2-32x-71x2-8x+11的值.

解（1）由題意可知Δ=（-8）2-4（a-6）×9=-36a+280.

因?yàn)樵摲匠逃袑?shí)根，所以Δ≥0，即-36a+280≥0，解得a≤7019.

因?yàn)閍-6≠0，所以a≤7019且a≠6，所以a的最大整數(shù)值為7.

（2）當(dāng)a取最大整數(shù)值時(shí)，①一元二次方程為x2-8x+9=0，所以x=8±2812=4±7，即得x1=4+7，x2=4-7.

②因?yàn)閤2-8x+9=0，所以x2-8x=-9.

所以2x2-32x-71x2-8x+11

=2x2-32x-71-9+11

=2x2-16x+712

=2（x2-8x）+712

=2×（-9）+712

=-2912.

點(diǎn)撥當(dāng)一元二次方程ax2+bx+c=0的二次項(xiàng)系數(shù)含有字母時(shí)，一定要注意隱含條件a≠0.

3與分式方程相結(jié)合

例5（濟(jì)寧市）人教版教科書對(duì)分式方程驗(yàn)根的歸納如下“解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式中的分母為0，因此應(yīng)如下檢驗(yàn)：將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解.”

請(qǐng)你根據(jù)對(duì)這段話的理解，解決下面問題：

已知關(guān)于x的方程m-11x-1-x1x-1=0無解，方程x2+kx+6=0的一個(gè)根是m.

（1）求m和k的值.

（2）求方程x2+kx+6=0的另一個(gè)根.

解析本題考查了分式方程和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，因?yàn)榉质椒匠虩o解，故得x=1代入整式方程，即可求出m的值，將m的值代入已知方程即可求出k的值.（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可求出方程的另一根.

解（1）分式方程去分母得m-1-x=0，由題意得x=1，將x=1代入得m-1-1=0，即m=2.因?yàn)榉匠蘹2+kx+6=0的一個(gè)根是m，所以將x=2代入方程x2+kx+6=0得4+2k+6=0，即k=-5.

（2）設(shè)方程的另一個(gè)根為a，則2a=6，a=3.

點(diǎn)撥解分式方程的基本思想是轉(zhuǎn)化思想，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解分式方程一定要驗(yàn)根.

4與函數(shù)相結(jié)合的有關(guān)問題

有些與函數(shù)有關(guān)的問題可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問題.

圖1例6（威海市）如圖1，已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，AB=2，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x=2.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求△APC周長(zhǎng)的最小值；

（3）設(shè)D為拋物線上一點(diǎn)，E為對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若以點(diǎn)A，B，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為.

分析本題屬于二次函數(shù)綜合題.（1）根據(jù)拋物線對(duì)稱軸是直線x=2，AB=2求出A（1，0），B（3，0）.所以1、3是關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩根.可以求出b、c的值；

（2）連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接PA.根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到PA+PC的值為最小，此時(shí)△APC的值最小，它的最小值等于AC+BC的值；

（3）當(dāng)點(diǎn)D是拋物線頂點(diǎn)時(shí)，可得到以A，B，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.

解（1）拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x+3.

（2）如圖2，連接AC、BC，BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接PA.由（1）知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x+3，A（1，0），B（3，0），所以C（0，3），所以BC=32+32=32，AC=32+12=10.因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸x=2對(duì)稱，所以PA=PB，所以PA+PC=PB+PC.此時(shí)，PB+PC=BC.所以點(diǎn)P在對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（PA+PB）的最小值等于BC.所以△APC的周長(zhǎng)的最小值是AC+AP+PC=AC+BC=32+10；

圖2圖3（3）如圖3，根據(jù)“菱形ADBE的對(duì)角線互相垂直平分，拋物線的對(duì)稱性”得到點(diǎn)D是拋物線y=x2-4x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即（2，-1）.故答案是：（2，-1）.5列一元二次方程解應(yīng)用題

例7（重慶市）隨著鐵路客運(yùn)量的不斷增長(zhǎng)，重慶火車北站越來越擁擠，為滿足鐵路交通的快速發(fā)展，該火車站從去年開始啟動(dòng)了擴(kuò)建工程.其中某項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間比乙隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間多5個(gè)月，并且兩隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間的乘積恰好等于兩隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間之和的6倍.

（1）求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需幾個(gè)月？

（2）略.

分析第（1）問考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用.等量關(guān)系是：甲隊(duì)單獨(dú)完成的時(shí)間×乙隊(duì)單獨(dú)完成的時(shí)間=6（甲隊(duì)單獨(dú)完成的時(shí)間+乙隊(duì)單獨(dú)完成的時(shí)間）.

解（1）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需要x個(gè)月，則乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需要（x-5）個(gè)月，根據(jù)題意得

x（x-5）=6（x+x-5），整理得x2-17x+20=0，解得x1=2，x2=15，x=2不合題意，舍去.故x=15，x-5=10.

答：甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需要15個(gè)月，則乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需要10個(gè)月.

作者簡(jiǎn)介尚延亮，男，1961年生.山東省寧陽(yáng)縣教育局教科研中心主任，中學(xué)高級(jí)教師，山東省特級(jí)教師，多年從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究工作.先后獲得“全國(guó)優(yōu)秀教師”、“泰安市專業(yè)技術(shù)拔尖人才”等榮譽(yù)稱號(hào).