“常用邏輯用語(yǔ)”學(xué)習(xí)中的四個(gè)誤區(qū)

王琳

摘 要：以簡(jiǎn)易邏輯學(xué)習(xí)為例，列舉了學(xué)生在學(xué)習(xí)中對(duì)命題理解的四種典型錯(cuò)誤并提出具體的解決方法和策略。

關(guān)鍵詞：簡(jiǎn)易邏輯；命題；判斷

簡(jiǎn)易邏輯是高中數(shù)學(xué)新教材增加的新內(nèi)容，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、推理能力、解決實(shí)際問(wèn)題的能力都很有幫助。但是筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的時(shí)候往往望文生義、生搬硬套、屢屢出錯(cuò)，特別是對(duì)一些似是而非的問(wèn)題，若不經(jīng)仔細(xì)研究便會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)論，平時(shí)教學(xué)時(shí)教師常采取回避的態(tài)度。本文例談簡(jiǎn)易邏輯學(xué)習(xí)中的四個(gè)誤區(qū)，以期學(xué)生在學(xué)習(xí)本章節(jié)時(shí)能少走彎路，提高學(xué)習(xí)效率。

例1.判斷下列語(yǔ)句哪些是命題？是真命題還是假命題？

（1）小紅考試100分，是個(gè)好學(xué)生；

（2）2難道不是整數(shù)嗎？

錯(cuò)解：（1）是命題，真命題；（2）不是命題；（3）是命題，真命題。

正解：（1）不是命題；（2）是命題，真命題；（3）不是命題。

分析：命題是能夠判斷真假的語(yǔ)句。考試100分并不是判斷一個(gè)學(xué)生好壞的標(biāo)準(zhǔn)，故（1）不是命題；盡管（2）的語(yǔ)句是以“？”結(jié)尾，但是反問(wèn)句，等同于“2是整數(shù)”是可以判斷真假的語(yǔ)句，故（2）是命題；因?yàn)椋?）是祈使句，無(wú)法判斷真假，故（3）不是命題。

例2.命題p：“若x2>9，則x>3或x<-3”是“或”命題嗎？

錯(cuò)解：命題p是或命題。

正解：命題p是簡(jiǎn)單命題，不是或命題。

分析：我們不能僅從命題的結(jié)論中個(gè)有個(gè)“或”字就認(rèn)定它是“或”命題。事實(shí)上，如果命題p是“p1或p2”的形式，那么命題p1、p2分別是什么呢？如果認(rèn)為命題p1：“若x2>9，則x>3”，命題p2是：“若x2>9，則x<-3”，那么命題“p1或p2”就成了“若x2>9，則x>3；或者若若x2>9，則x<-3”；而這個(gè)命題（如果還能把它稱為一個(gè)命題的話）和命題p已經(jīng)不是一回事了；我們還可以從命題的真假上進(jìn)一步說(shuō)明它和命題p的區(qū)別：命題p1假，命題p2假，則命題“p1或p2”假，但命題p真；可見(jiàn)命題p不是“或”命題。當(dāng)然，命題p更不可能是“且”命題、“非”命題。由此看來(lái)命題p應(yīng)該是一個(gè)簡(jiǎn)單命題，而不是復(fù)合命題。

因此，不能認(rèn)為簡(jiǎn)單命題再加上一些邏輯聯(lián)結(jié)詞就構(gòu)成了復(fù)合命題；對(duì)于命題p1、p2，命題p1或p2為“或”命題；命題p1且p2為“且”命題；p1（p2）的否定為“非”命題。而命題“若A，則B1或B2”“若A，則B1且B2”等都是簡(jiǎn)單命題。如：命題“不等式x2-x-6<0的解集為{x|-2

例3.寫出命題q：“若x2>9，則x>3”的否定。

錯(cuò)解：若x2>9，則x≤3。

正解：命題q的否定為：若x2>9，不一定有x>3。

分析：從形式上看，命題q的否定-q應(yīng)該是：“若x2>9，則x≤3”。但是，如果研究一下命題q和-q的真假就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們都是假命題；這當(dāng)然是不可能的。故可以肯定我們寫出的-q是錯(cuò)誤的。仔細(xì)體會(huì)命題q，能夠知道它的真實(shí)含義是：“若x2>9，則一定有x>3”，據(jù)此認(rèn)為命題q假，它的否定-q應(yīng)該是：“若x2>9，不一定有x>3”，這是一個(gè)真命題。當(dāng)我們把命題q理解為：“若x2>9，則可能有x>3”時(shí)，它是真命題，此時(shí)它的否定-q才是：“若x2>9，不可能有x>3”，即“若x2>9，則x≤3”。

像這樣的結(jié)論是“必然判斷”卻又省略了“必”“一定”等特征副詞的命題，而恰恰因?yàn)椤氨厝弧笔蛊錇榧伲趯戇@類命題的否定時(shí)，可以先補(bǔ)齊特征副詞，再行否定，它們的否定結(jié)論是“或然”判斷。如命題：“有兩個(gè)角是直角的平面四邊形是矩形”，事實(shí)上“有兩個(gè)角是直角的平面四邊形”可能是矩形，也可能不是，因?yàn)槊}作了“是”的判斷，使其為假；故應(yīng)該先將命題改造為：“有兩個(gè)角是直角的平面四邊形一定是矩形”，它的否定是：“有兩個(gè)角是直角的平面四邊形不一定是矩形”。但是，對(duì)于一個(gè)結(jié)論是“必然判斷”的真命題，就可以直接寫出它的否定，如：“有三個(gè)角是直角的平面四邊形是矩形”，它的否定為“有三個(gè)角是直角的平面四邊形不是矩形”；而不用先將命題改造為“有三個(gè)角是直角的平面四邊形一定是矩形”，再進(jìn)行否定：“有三個(gè)角是直角的平面四邊形不一定是矩形”。

例4.寫出命題r：“若x2<9，則必有x<3”的否命題。

錯(cuò)解：若x2≥9，不一定有x<3；

正解：若x2≥9，則x≥3。

分析：如果命題r的否命題是“若x2≥9，不一定有x<3”。像這種結(jié)論是“或然判斷”的命題，當(dāng)然是真命題。我們?cè)倏疵}r的逆命題：“若x<3，則x2<9”；顯見(jiàn)這是一個(gè)假命題。同一個(gè)命題的否命題和逆命題出現(xiàn)了一真一假的“怪事”，問(wèn)題出在哪兒呢？逆命題只需將原命題的條件與結(jié)論“互換”，不會(huì)有問(wèn)題；那么問(wèn)題只可能出在否命題上，但如果僅從形式上看，否命題也沒(méi)錯(cuò)。我們之所以說(shuō)逆命題為假，是因?yàn)楫?dāng)x≤-3（滿足條件x<3）時(shí)，x2≥9（結(jié)論x2<9不成立）；那么否命題應(yīng)該為假，而且否命題之所以為假也是由于“當(dāng)x2≤-3時(shí)，x2≥9”。對(duì)于我們現(xiàn)在給出的否命題“若x2≥9，不一定有x<3”，永遠(yuǎn)是真命題，除非將結(jié)論改為“x≥3”；如此，當(dāng)x2≥9時(shí)，可能x≥3，也可能x≤-3，故命題為假。事實(shí)上，如果將命題r改為：“若x2<9，則x<3”，命題的真實(shí)含義沒(méi)有改變，而據(jù)此寫出的否命題就是：“若x2≥9，則x≥3”，它更符合“原意”。

一般的，結(jié)論是“必然判斷”的命題，在寫它的否命題時(shí)，宜將“必”“一定”等特征副詞略去，再行否定。如：命題“對(duì)于整數(shù)a，b，若a，b都是奇數(shù)，則a+b一定是偶數(shù)”的否命題不是“對(duì)于整數(shù)a，b，若a，b不都是奇數(shù)，則a+b不一定是偶數(shù)”；而是先將命題改造為“對(duì)于整數(shù)a，b，若a，b都是奇數(shù)，則a+b是偶數(shù)”，再寫它的否命題：“對(duì)于整數(shù)a，b，若a，b不都是奇數(shù)，則a+b不是偶數(shù)”。

（作者單位 江蘇省常州市田家炳高級(jí)中學(xué)）