“常用邏輯用語”學習中的四個誤區

王琳

摘 要：以簡易邏輯學習為例，列舉了學生在學習中對命題理解的四種典型錯誤并提出具體的解決方法和策略。

關鍵詞：簡易邏輯；命題；判斷

簡易邏輯是高中數學新教材增加的新內容，對培養學生的思維能力、推理能力、解決實際問題的能力都很有幫助。但是筆者在教學實踐中發現學生在學習這部分內容的時候往往望文生義、生搬硬套、屢屢出錯，特別是對一些似是而非的問題，若不經仔細研究便會得到錯誤的結論，平時教學時教師常采取回避的態度。本文例談簡易邏輯學習中的四個誤區，以期學生在學習本章節時能少走彎路，提高學習效率。

例1.判斷下列語句哪些是命題？是真命題還是假命題？

（1）小紅考試100分，是個好學生；

（2）2難道不是整數嗎？

錯解：（1）是命題，真命題；（2）不是命題；（3）是命題，真命題。

正解：（1）不是命題；（2）是命題，真命題；（3）不是命題。

分析：命題是能夠判斷真假的語句。考試100分并不是判斷一個學生好壞的標準，故（1）不是命題；盡管（2）的語句是以“？”結尾，但是反問句，等同于“2是整數”是可以判斷真假的語句，故（2）是命題；因為（3）是祈使句，無法判斷真假，故（3）不是命題。

例2.命題p：“若x2>9，則x>3或x<-3”是“或”命題嗎？

錯解：命題p是或命題。

正解：命題p是簡單命題，不是或命題。

分析：我們不能僅從命題的結論中個有個“或”字就認定它是“或”命題。事實上，如果命題p是“p1或p2”的形式，那么命題p1、p2分別是什么呢？如果認為命題p1：“若x2>9，則x>3”，命題p2是：“若x2>9，則x<-3”，那么命題“p1或p2”就成了“若x2>9，則x>3；或者若若x2>9，則x<-3”；而這個命題（如果還能把它稱為一個命題的話）和命題p已經不是一回事了；我們還可以從命題的真假上進一步說明它和命題p的區別：命題p1假，命題p2假，則命題“p1或p2”假，但命題p真；可見命題p不是“或”命題。當然，命題p更不可能是“且”命題、“非”命題。由此看來命題p應該是一個簡單命題，而不是復合命題。

因此，不能認為簡單命題再加上一些邏輯聯結詞就構成了復合命題；對于命題p1、p2，命題p1或p2為“或”命題；命題p1且p2為“且”命題；p1（p2）的否定為“非”命題。而命題“若A，則B1或B2”“若A，則B1且B2”等都是簡單命題。如：命題“不等式x2-x-6<0的解集為{x|-2

例3.寫出命題q：“若x2>9，則x>3”的否定。

錯解：若x2>9，則x≤3。

正解：命題q的否定為：若x2>9，不一定有x>3。

分析：從形式上看，命題q的否定-q應該是：“若x2>9，則x≤3”。但是，如果研究一下命題q和-q的真假就會發現它們都是假命題；這當然是不可能的。故可以肯定我們寫出的-q是錯誤的。仔細體會命題q，能夠知道它的真實含義是：“若x2>9，則一定有x>3”，據此認為命題q假，它的否定-q應該是：“若x2>9，不一定有x>3”，這是一個真命題。當我們把命題q理解為：“若x2>9，則可能有x>3”時，它是真命題，此時它的否定-q才是：“若x2>9，不可能有x>3”，即“若x2>9，則x≤3”。

像這樣的結論是“必然判斷”卻又省略了“必”“一定”等特征副詞的命題，而恰恰因為“必然”使其為假，在寫這類命題的否定時，可以先補齊特征副詞，再行否定，它們的否定結論是“或然”判斷。如命題：“有兩個角是直角的平面四邊形是矩形”，事實上“有兩個角是直角的平面四邊形”可能是矩形，也可能不是，因為命題作了“是”的判斷，使其為假；故應該先將命題改造為：“有兩個角是直角的平面四邊形一定是矩形”，它的否定是：“有兩個角是直角的平面四邊形不一定是矩形”。但是，對于一個結論是“必然判斷”的真命題，就可以直接寫出它的否定，如：“有三個角是直角的平面四邊形是矩形”，它的否定為“有三個角是直角的平面四邊形不是矩形”；而不用先將命題改造為“有三個角是直角的平面四邊形一定是矩形”，再進行否定：“有三個角是直角的平面四邊形不一定是矩形”。

例4.寫出命題r：“若x2<9，則必有x<3”的否命題。

錯解：若x2≥9，不一定有x<3；

正解：若x2≥9，則x≥3。

分析：如果命題r的否命題是“若x2≥9，不一定有x<3”。像這種結論是“或然判斷”的命題，當然是真命題。我們再看命題r的逆命題：“若x<3，則x2<9”；顯見這是一個假命題。同一個命題的否命題和逆命題出現了一真一假的“怪事”，問題出在哪兒呢？逆命題只需將原命題的條件與結論“互換”，不會有問題；那么問題只可能出在否命題上，但如果僅從形式上看，否命題也沒錯。我們之所以說逆命題為假，是因為當x≤-3（滿足條件x<3）時，x2≥9（結論x2<9不成立）；那么否命題應該為假，而且否命題之所以為假也是由于“當x2≤-3時，x2≥9”。對于我們現在給出的否命題“若x2≥9，不一定有x<3”，永遠是真命題，除非將結論改為“x≥3”；如此，當x2≥9時，可能x≥3，也可能x≤-3，故命題為假。事實上，如果將命題r改為：“若x2<9，則x<3”，命題的真實含義沒有改變，而據此寫出的否命題就是：“若x2≥9，則x≥3”，它更符合“原意”。

一般的，結論是“必然判斷”的命題，在寫它的否命題時，宜將“必”“一定”等特征副詞略去，再行否定。如：命題“對于整數a，b，若a，b都是奇數，則a+b一定是偶數”的否命題不是“對于整數a，b，若a，b不都是奇數，則a+b不一定是偶數”；而是先將命題改造為“對于整數a，b，若a，b都是奇數，則a+b是偶數”，再寫它的否命題：“對于整數a，b，若a，b不都是奇數，則a+b不是偶數”。

（作者單位 江蘇省常州市田家炳高級中學）