大庫存股票的最優交易策略芻議

陸志昌，左 東

一、引言

股票交易中交易策略的制定已經成為成功的交易和資產管理至關重要的一部分，許多大機構已經開始越來越關注股票交易風險。舉例來說，一個大機構戶如果要賣掉庫存中數量較大的股票，它將面臨如下難題。如果機構急于拋掉股票的話，勢必會造成最后得到的現金收益會遠小于期望值，這是因為它們急于拋掉股票的過程中已經給市場造成了恐慌，散戶不但不會買這支股票，反而可能加入到拋售股票的浪潮中，這會給股價帶來持續打壓，最終會導致那些大機構戶賣掉股票所得現金大打折扣。所以說對于那些大機構戶和大眾來說，去制定和管理大數量股票的交易策略將很有意義，因為這不僅不會給市場帶來恐慌，也會給投資者帶來信心，最終也會對金融市場的持續穩定運行起到積極作用。

?ksendal（1998）[1]和Mckean（1960）[2]運用了相同的思路去研究股票交易的最優策略，他們將股票最優交易策略提煉成最優停時問題并得到一個閉解，利用光滑技術，把問題當做是自由邊界問題去解決。Guo and Zhang（2005）[3]拓展了?ksendal（1998）[1]的結果，他們用一個雙狀態的馬爾科夫鏈去體現可能的市場變化狀態，并且利用光滑技術，最優停時問題被轉化為具有確定光滑邊界的一系列迭代方程，并也得到了閉解。另外一種方法去研究股票最優交易策略是制定具有兩種臨界價格的賣股策略，兩種臨界價格分別是賣股票的目標價格和止損價格，一旦市場的股票價格處于這兩種臨界價格之間，就可以得出賣股策略，這種研究方法的目標是選擇這些臨界值來使得投資者最后的收益最大化。Zhang（2001）[4]通過求解一個兩點邊值問題得到了最優的臨界值，并且給出了解析解和最優解的形式。Zhang，Lin，和 Liu（2005）[5]在馬爾科夫鏈模擬的狀態值很大的時候得到了一個接近最優的賣股策略。Lin，Liu，Zhang（2002）[6]利用隨機近似的方法研究了一類股票的交易問題，他們的思想是設計了一種遞歸的算法去逼近最優的閥值，并且得到了算法的收斂性和收斂速度。Helmes（2004）[7]利用線性規劃的方法計算了賣股策略的問題。前面的這些文獻在研究股票的交易策略問題上都有一個共性，那就是庫存中股票都是一次賣掉，這種做法對庫存中數量較小的股票顯然是可行的，但是一旦股票數量較大且在短時間賣出，那將對市場造成沖擊，結果股價下降使投資者收益減小。Pemv和Zhang（2006）[8]是在預先設定好的時間段內去研究賣股的策略問題，一個典型的賣股策略是在較長的時間段內分批小量的賣出庫存中數量較大的股票。在某種意義上，Pemy（2006）[9]用一個連續的模型在時間區間上去描述賣股的速度，目標是使得整個時段內的收益最大，通過使用Soner（1984）[10]中粘性解的技術去研究價值函數和邊界條件。

在Pemy（2006）[11]的文章中，討論研究賣股的策略總共有三種情況，Pemy只是討論了第一種情況，其他兩種情況沒有研究。所以本文主要研究Pemy（2006）[11]中遺留下來的問題。本文余下的內容是這樣編排的，在下一節中，將根據假設條件利用帶約束帶的隨機控制問題去提出問題，關于粘性解的理論證明見Pemy（2006）[11]。在第3節中，將得到的HJB方程離散化并使用Merte Callo技術去模擬問題的邊界條件，利用Foryth（2007）[12]中研究的滿足正系數條件的有限差分方法去對離散的HJB方程進行數值求解。在第4節中，將對問題的解作若干定性分析。

二、問題的提出

用 S（t）和 q（t）分別表示股票價格和賣股票的速度(賣率)，得到以下隨機微分方程

需要說明的是股價dS（t）的變化主要有三個部分。第一個部分是漂移項 μS（t）dt，其中 μ＞0。 另一部分是擴散項 σS（t）dW（t）其中 W（t）是標準的布朗運動。第三項 L（S（t），q（t））dt是表示由賣率q（t）dt對股價所帶來的相對影響。正是因為賣率會影響股價，所以必須在每個時間段內去考慮怎樣賣掉庫存中的股票。

這里有三種情況需要去考慮。在情況（i）中，由于賣股票所帶來的股價影響，假設 L（S（t），q（t））=bq（t）S（t），其中 b＞0，b 是相對于賣率給定的一個合適的折扣率，在這種情形下的大庫存股票交易的最優策略參考文獻[11]已經研究了。在情況（ii）中，考慮到市場是完全競爭的市場，可以假設 L（S（t），q（t））=0。在情況（iii）中，假設 L（S（t），q（t））=kpS（t）?（q（t）），其中 ?″（x）＞0，kp可以稱為永久影響因子，也就是說隨著投資者加速賣掉庫存中的股票，會給股價帶來加劇的打壓。舉例來說，一旦市場的投資者意識到大機構戶正在拋售股票，他們也會加入到拋售股票的浪潮中，而不是去買這種股票，最終會導致股價連續加劇下降，給機構戶帶來損失。本文重點就是要討論第（iii）中情況，假設 ?（x）=x2，本文中我們取 kp為常數。由上面的假設，方程(1)可以寫成

在我們的問題中，S（t）是狀態變量，q（t）是控制變量。t時刻還沒有賣掉的庫存中的股票數量定義為Z（t），也就是說在我們的問題中，允許Z（t）在非負實數中取值。我們用下面的隨機微分方程去描述賣股速率的變化

這樣，任意時刻 t將包括一對變量（S（t），Z（t）），它的取值區間定義為 γ=［0，∞）×［0，N］，這里的 N 是庫存中需要賣的股票的總數量。值得注意的是，本文中我們限定賣率 q（t）是在=［0，1］這個集合上取值的。

定義2.1控制變量q（·）對給定的初值（s，z）∈Γ是可允許的，如果滿足

（i）q（·）是 Ft=σ｛S（k）：k≤t｝適應的，

（ii）對所有的 t≥0，有 q（·）∈Γ

（iii）對所有的 t≥0，相應的狀態過程（S（t），Z（t））∈γ.我們用A=A（s，z）去定義所有的可允許集。

可允許性要求控制變量q（t）不依賴于未來的信息，而是依賴于t時刻為止的所有信息。并且控制變量是取值于=［0，1］，狀態約束變量（S（t），Z（t））是取值于 γ。

市場利率ρ＞0是反映現有股票庫存的機會成本。也就是說當市場利率ρ越高，現有庫存中的股票就越應該去賣而不是繼續持倉。在我們研究的問題中還有一個非常關鍵的變量就是（ρ-μ），如果市場利率ρ是低于股票漂移率μ，那么顯然繼續持倉而不是賣股，所以在我們研究的問題中如果要保證賣股速率q（t）＞0必須要求市場利率ρ大于股票漂移率μ，也就是（ρ-μ）＞0。

投資者期望的收益可以定義為整個賣股過程的現金流收益，也就是

由動態規劃原理的有關知識，對任意的θ和常量控制q，可以有

根據粘性解的有關理論我們假設V是充分光滑的，e-ρθV（S，Z）使用 Ito^得

這里 LqV（S，Z）是如下算子

結合(5)和(6)，有

讓θ趨于無窮大，可得

利用均值理論，有

因為上式對任意的控制q∈A都是成立的，特殊地，可以有

另一方面，假設q*是最優控制.于是我們有

再利用上面相似的討論，我們有

結合(7)，所以V應該滿足

這樣就得到了一類偏微分方程，也叫做Hamilton–Jacobi-Bellman方程，它是滿足

三、離散化和邊界條件

在這一節中，我們將介紹如何使用滿足正系數條件的有限差分格式將方程(8)離散化。并利用Merte Callo技術去模擬問題的邊界條件。

可以得到正系數條件

由[12]，(8)的離散格式和正系數條件將確保問題時收斂到粘性解.

邊界條件：

（i）當股票庫存中的股票數量Z=0，此時可行的最優控制q*（S，Z）應該滿足q*（S，0）=0，再由(4)式就可以得到Z=0處p邊界條件如下

（ii）當庫存中股票的股價S=0，此時可行的最優控制q（*S，Z）也應該滿足q（*0，Z）=0，因為很顯然，當股價都為零了，也就沒有賣的必要了。再由(4)式就可以得到S=0處邊界條件如下

（iii）當庫存中股票的股價S=Smax，由(4)式，利用Monte Carlo模擬技術，可以得到S=Smax處的邊界條件如下

這里V（Smax，Z）j是由Monte Carlo模擬得到的.

接下來，結合(8)，(13)，(14)，(15)介紹數值求解的迭代算法，不失一般性，我們僅介紹如何通過去求解，這里 i=2…M，j=1…N.

四、數值結果

在這一節中，我們將列出價值函數和相關最優策略一系列的數值結果。首先我們列出模型中的一些參數的值，如下表所示

表1 模型中參數值

圖1 最優交易策略-股價和庫存數量的關系圖

圖2 不同漂移率下最優交易策略-股價和庫存數量的關系圖

圖3 不同市場利率下最優交易策略-股價S和庫存數量Z的關系圖

圖4 不同波動率下最優交易策略-股價S和庫存數量Z的關系圖

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