基于最優(yōu)熵濾波器的非線性非高斯帶有數(shù)據(jù)缺失隨機系統(tǒng)的故障隔離

溫東賓， 張正道， 潘 豐

(江南大學輕工過程先進控制教育部重點實驗室，江蘇無錫 214122)

近年來，隨機分布系統(tǒng)的故障檢測與隔離問題成為研究的焦點，也提出了許多有效的解決方法。大體可分為如下兩類［1-2］:一是使用統(tǒng)計學理論，例如似然函數(shù)和貝葉斯理論，再結合諸如蒙特卡羅方法、粒子濾波器等的數(shù)學計算，對故障(或系統(tǒng)參數(shù)突變)進行預估;二是基于特定方法的濾波器，例如最優(yōu)化熵濾波的最小化思想，能使估計誤差滿足各項性能指標［3］。

在研究線性高斯系統(tǒng)的故障檢測與隔離時典型的方法是卡爾曼濾波器(KF)及改進(EKF)。而對于非線性系統(tǒng)，濾波器的設計還需要一定的變換或逼近，以使得誤差方程滿足一定的線性結構［4］。盡管如此，系統(tǒng)會受到高斯噪聲的影響，可能產生非高斯的輸出信號。對于一個非高斯的參數(shù)，均值和方差均不能有效表征其動態(tài)特性。此時，改進的卡爾曼濾波器也只能在一定范圍內使用，因為它僅僅給出了一個最小化參數(shù)估計［5］。熵能權衡隨機特性，廣泛應用于信息、熱力學和控制理論中。在文獻［6-7］中，用B樣條原理逼近系統(tǒng)輸出的概率密度函數(shù)，隨機故障檢測與診斷問題轉變成由線性系統(tǒng)支配的動態(tài)權重選擇問題。文獻［8］給出了一種使用可測的輸出概率密度函數(shù)的魯棒性故障檢測與診斷方法，解決了一類非線性系統(tǒng)的動態(tài)權重模型。但是，文獻［9］的計算過程過于繁瑣，結論需要滿足假設:(1)輸出信號可測;(2)輸出的概率密度函數(shù)能用B樣條原理近似逼近;(3)控制輸入量與在線權重之間的動態(tài)權重可建模。

從實際情況出發(fā)，有兩類故障隔離問題需要考慮:第一類是輸出信號可測情況;第二類是輸出的數(shù)據(jù)有部分缺失情況。針對第一種情況的方法，假設分析的采樣數(shù)據(jù)集是完整的，可以通過構建一個殘差濾波器;然后，基于熵最優(yōu)化準則(EOP)對該濾波器的殘差故障檢測性能優(yōu)化，其目的是將目標故障與非目標故障進行分離;最后，為了簡化過程的計算量，引入輔助映射和Renyi熵來計算誤差的概率密度函數(shù)。第二類情況反映實際工業(yè)過程當中，采集到的數(shù)據(jù)不完整。引起缺失數(shù)據(jù)的原因很多，如觀測器故障、觀測器觀察范圍之外的誤差、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)故障、計算機系統(tǒng)崩潰、中斷的輸電線路、本地數(shù)據(jù)的錯誤格式化、管理軟件的數(shù)據(jù)錯誤以及數(shù)據(jù)備份的故障等。有時，數(shù)據(jù)在關鍵位置的值無法獲得，其原因歸咎于觀測器或采樣的問題，例如分析儀器的采樣頻率與溫度、流速、壓力的測量頻率相比過低。對于這類情況下的故障隔離問題，目前的成果依然較少。

文中主要提出一種非線性非高斯帶有數(shù)據(jù)缺失的系統(tǒng)故障隔離方法。首先利用EM迭代算法修補缺失的數(shù)據(jù)，然后基于數(shù)據(jù)驅動模型的思想設計最優(yōu)化熵濾波器，實現(xiàn)目標故障的隔離作用。利用一個數(shù)據(jù)缺失示例，驗證了該方法的有效性。

1 對象模型和故障隔離問題

1．1 對象模型

構建非線性非高斯動態(tài)離散系統(tǒng)的差分狀態(tài)方程和輸出動態(tài)方程:

其中:xk為系統(tǒng)k時刻的狀態(tài)量;δk為需要隔離的目標故障;ηk為非目標故障，由系統(tǒng)方程建模誤差引起;ωk為干擾的噪聲信號;vk為干擾輸出yk的噪聲信號。δk，ηk，ωk，vk為有界的、互為獨立的隨機變量。假設1 f(·)和h(·)是兩個已知的波爾可測和非線性平滑函數(shù)，初值 f(0，0，0)=0;

假設 2 外部輸入 δk，ηk，ωk，vk是有界、互為獨立的隨機變量，且各自的概率密度函數(shù)已知。初始時刻x0是一個概率密度函數(shù)已知的隨機變量。

1．2 動態(tài)誤差和故障隔離濾波器

依據(jù)非線性非高斯系統(tǒng)參數(shù)模型，構建如下的濾波器參數(shù)模型:

其中，Uk為濾波器控制增益，狀態(tài)誤差表達式:ek=xk－k，則

定義系統(tǒng)殘差:êk=h(xk，vk)－ h(k，0)。

由假設1的內容可知，系統(tǒng)殘差可寫成:

其中，Lk為確定的常量;ρk(xk，k)為由狀態(tài)誤差引起的不確定量;êk與誤差ek成線性關系。ρk(xk，k)∈［M1，M2］，因此殘差的熵滿足不等式:

通常情況下，yk是可測的，誤差ek+1可看成是Uk的參數(shù)表達式。設計適當?shù)腢k，使誤差ek+1受目標故障 δk的影響最大化，而受變量 ηk，ωk，vk的影響最小，實現(xiàn)目標故障δk隔離。本中與參考文獻不同之處在于:yk是部分數(shù)據(jù)缺失的，且yk概率密度函數(shù)未知。文中主要考慮離線系統(tǒng)的故障隔離問題，先修補缺失數(shù)據(jù)，然后計算yk的概率密度函數(shù)，為最優(yōu)化熵濾波器設計做準備。依據(jù)引言的兩類實際情況進行分析討論:

Case 1:yk任意時刻可測。

方程式3的誤差ek+1可以看作兩部分組成:

由假設 2 已知，xk，δk，ηk，ωk是互為獨立的變量，其概率密度函數(shù)已知，所以xk+1的概率密 度函數(shù)表達式:

假設2給定x0、目標故障、非目標故障及噪聲的概率密度函數(shù)，經(jīng)過k次迭代積分，獲得xk+1的概率密度函數(shù):

定義積分區(qū)域:假設τ是給定的常數(shù):

因此，狀態(tài)誤差ek的概率密度函數(shù)寫為

Case 2:yk數(shù)據(jù)缺失。

首先，需要對缺失數(shù)據(jù)yk使用EM算法，然后計算概率密度函數(shù)γyk。EM算法需要以下幾個步驟:

1)初始化分布參數(shù);

2)重復E-Step和M-Step直至收斂。

E步驟:估計未知參數(shù)的期望值，給出當前的參數(shù)估計。

M步驟:重新估計分布參數(shù)，以使得數(shù)據(jù)的似然性最大，給出未知變量的期望估計。

在迭代收斂過程，缺失數(shù)據(jù)使用估計值修補完整。令

由方程式5的關系可知:

在上述條件下，動態(tài)誤差的概率密度函數(shù)的表達式為 γek(τ)= γdk(γ － θ2k)。

證 狀態(tài)誤差ek+1=dk+1+θ2k。

方程式(5)給出了 dk+1是 f(xk，δk，ηk，ωk)和Ukyk兩個隨機變量的求和。利用方程式(6)可得γdk+1(τ)，又因為 ek+1=dk+1+ θ2k，所以

γek(τ)= γdk(τ － θ2k)。

證明完畢。

顯然γek(τ)可以用5個互為獨立的概率密度函數(shù) γδk(τ)，γηk(τ)，γωk(τ)，γvk(τ)，γxk－1(τ)和 Uk來表示，是一個在其積分區(qū)域Ωk上的多重積分。

2 最優(yōu)化熵濾波器

2．1 最優(yōu)化熵原則

定義狀態(tài)誤差ek的熵為

因為 γek(τ)是可用 γδk(τ)，γηk(τ)，γωk(τ)，γvk(τ)，γxk－1(τ)和Uk表示，所以 H(ek)也可用它們的熵來表示。實際上，H(ek)是關于5個變量的條件概率。

因為濾波器的目的是隔離目標故障，所有狀態(tài)誤差分成兩部分:目標故障引起的誤差e1k+1和非目標故障引起的誤差e2k+1。先考慮Case 1，兩部分對應的參數(shù)表達式:

定理1

積分區(qū)域:假設給定常數(shù)τ。

Π1:={(τ1，τ2)|f(τ1，τ2，0，0)≤ τ}，

Π2:={(τ1，τ2，τ3)|f(τ1，0，τ2，τ3)≤ τ}

對于Case 2，同理可得，由方程式(6)可知:

定理2 Case 2對應的概率密度表達式為

其中

2．2 優(yōu)化算法

假 設 3 xk∈ ［a，b］ 取 任 意 值 時:?f(xk，δk，ηk，ωk)/?xk≠0 均成立。

給定一個常數(shù) τ，對于 f(τ1，τ2，0，0)，f(τ1，0，τ2τ3)，f(τ1，τ2)，f(τ1，τ2，τ3)有可逆函數(shù)，其中:

由可逆函數(shù)的定義可知:

構建如下的多維輔助映射:

定理3 對于Case 1，利用假設1～3，則在t=k時，的概率密度表達式:

其中

得出誤差的概率密度表達式為

證

由方程組(16)的第一個方程可知:

將上式代入式(20)即可證明。

定理4 對于Case 2，利用假設1～3，在t=k時，狀態(tài)誤差的表達式為

ψ1(τ，τ1)，ψ2(τ，τ1，τ2)在定理 3 中已經(jīng)給出。先代入式(11)，然后代入式(21)，求得誤差的概率密度函數(shù)。

2．3 最優(yōu)化熵濾波器設計

Renyi熵定義:

當α=2時，

最大則須H2(ek)取最小化。因此，考慮如下的瞬時代價函數(shù):

令?Jk/?Uk=0獲得的控制增益Uk，進行如下的公式變形:

在Uk－1處對Jk(Uk)進行泰勒級數(shù)展開:

其中

定理5 對于Case 1的故障隔離，最優(yōu)濾波器控制增益:

設定初始值，在任意k時刻的控制增益，狀態(tài)誤差的概率密度函數(shù)通過以下實驗仿真步驟獲得:

1)定義初始時刻的參數(shù)值x0，0，U0及初始化分布參數(shù);

2)重復3)和4)步驟直至收斂，跳至5);

3)E步驟:估計未知參數(shù)的期望值，給出當前的參數(shù)估計;

4)M步驟:重新估計分布參數(shù)，以使得數(shù)據(jù)的似然性最大，給出未知變量的期望估計;

6)根據(jù)定理4，求得該時刻的誤差表達式，關于Uk的一個多項表達式;

7)式(27)，(29)，(30)及

求得t=k時刻的Uk，ΔUk;

8)k=k+1≤N，返回到5)，否則到9);

9)繪制狀態(tài)誤差ek。

3 實驗仿真

為了故障隔離的仿真，非線性非高斯參數(shù)模型:

其中目標故障δk的概率密度函數(shù)(見圖1)表達式:

非目標故障ηk的概率密度函數(shù)(見圖2)表達式:

干擾信號wk的概率密度函數(shù)表達式:

vk為服從N(0，1)的高斯變量。

根據(jù)方程式2，故障隔離濾波器設計為

在仿真中，權重系數(shù)R1=1，R2=20，設定的初始值為 U0=0，0=0，x0是一個在區(qū)間［0，1］上的均勻分布，即概率密度函數(shù)為1。按照2．3節(jié)中濾波器設計的迭代步驟，得到圖3，4。圖3為只存在目標故障δk的系統(tǒng)狀態(tài)誤差的動態(tài)響應;圖4為只存在ηk影響下系統(tǒng)狀態(tài)誤差的動態(tài)響應。

圖3 存在目標故障時的誤差響應Fig．3 Response when the target fault occurs

圖4 只存在非目標故障時的誤差響應Fig．4 Response when the nuisance fault occurs

圖3，4仿真是針對Case 1的仿真結果。顯然在數(shù)據(jù)完整的情況下，故障隔離目標故障的效果較好。對于 Case 2，預計對y值依次采用5%，10%，20%的缺失情況進行EM修補并故障隔離仿真，圖5，6，7是目標故障隔離的仿真。

故障的發(fā)生時間、振動幅值可以清晰觀測得到，為了分析數(shù)據(jù)方便，構建表1進行對比描述。從表1可以看出，缺失5% 的數(shù)據(jù)時，系統(tǒng)故障隔離仍能發(fā)揮作用，但是有1．112 s的時間延遲，這是數(shù)據(jù)修補算法過程帶來的時間消耗。圖6反應因為缺失數(shù)值過大，誤差相應的幅值開始變大，時間延遲更加增大(延遲2．451 s)。圖7因為缺失數(shù)值達到了20%，故障隔離已經(jīng)無法準確地判斷故障發(fā)生的時刻，且因為誤差振幅過大，影響故障信號的檢測。圖8，9，10是非目標故障仿真示意圖，通過詳細觀察對比可以發(fā)現(xiàn)幅值和信號跳變時刻的改變。

表1 圖5，6，7的仿真結果比較Tab．1 Comparative simulation result of Fig．5，6，7

為了便于說明，建立表2分別對故障的發(fā)生時刻與振幅變動加以對比分析。從表2的數(shù)據(jù)可以看出，圖8為5% 的數(shù)據(jù)缺失，非目標故障發(fā)生時刻有1．176 s的延遲，且平穩(wěn)狀態(tài)時的幅值波動增大;圖9為10% 的數(shù)據(jù)缺失，故障檢測的時延增大為2．578 s，誤差波動的幅值更加劇烈;圖10為20%的缺失數(shù)據(jù)，誤差的幅值波動過大，與非目標故障的幅值接近，無法進行故障檢測。

非目標故障的隔離在y缺失5%，10%，20% 時的仿真可以看出，與目標故障隔離相同的實驗結論，隨著缺失數(shù)據(jù)的增大，誤差幅值漸漸增大，故障檢測延遲越來越大，直到數(shù)據(jù)缺失20%，非目標故障抑制作用失效。

表2 圖8，9，10的仿真結果比較Tab．2 Comparative simulation result of Fig．8，9，10

4 結語

在現(xiàn)有故障隔離方法的基礎上，提出了在輸出信號Y存在數(shù)據(jù)缺失的故障隔離問題。首先，使用EM算法，通過E-Step和M-Step迭代直至收斂，得到的估計值填補到缺失集合內。其次，基于修補完整的數(shù)據(jù)驅動模型，構建濾波器，可實現(xiàn)對系統(tǒng)狀態(tài)的估計。然后，狀態(tài)誤差由非線性非高斯系統(tǒng)模型和濾波器模型來表達，其關系用概率密度函數(shù)表達，再對概率密度函數(shù)用最優(yōu)化準則進行優(yōu)化，通過迭代優(yōu)化，可使得目標故障存在時狀態(tài)誤差概率密度函數(shù)的熵最大化，同時保證在只有非目標故障時最小化，實現(xiàn)目標故障的隔離作用。

文中仍然具有一定的局限性，EM算法是假設缺失以隨機缺失機制，修補方法的好壞，影響著基于數(shù)據(jù)驅動的濾波器設計，進而影響故障隔離的效果。

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