弱適當半群的研究

鄭 嬌， 任學明

(西安建筑科技大學理學院，陜西西安 710055)

J．B．Fountain借助 Green*關系，引入了 rpp半群、富足半群、適當半群和型A半群等概念。這些半群都是廣義正則半群的若干重要子類，受到國內外學者的廣泛關注。令S為一半群，E(S)為S的冪等元集合。半群S稱為rpp半群，如果S的每一L*-類含S的一個冪等元。半群S稱為富足半群，如果S的每一L*-類和每一R*-類都含有冪等元。富足半群S稱為適當半群，如果S的冪等元集形成可交換子半群，即冪等元集形成半格。

顯然，所有的逆半群都是適當的，對于逆半群及適當半群，其性質和重要結論已得到廣泛論證［1-2］。在文獻［2］中，Howie定義了逆半群S上包含在H中的最大冪等分離同余μ，如下:

μ ={(a，b)∈S × S:(?e∈E(S))a－1ea=b－1eb}，同時指出S/μ?E的充要條件。1977年，Fountain對此結果進行了推廣，定義了適當半群S上包含其中的最大同余μ，并給出S/μ?E的若干等價刻畫。文中將利用廣義格林關系(*，～)，定義廣義正則半群。這些半群都是適當半群和逆半群在非正則半群類中的共同推廣。其中，弱適當半群是r-弱適當半群的子半群，而基本弱適當半群又是弱適當半群的子半群。在此基礎上，研究r-弱適當半群，弱適當半群的基本性質和特征。特別地，刻畫了弱適當半群上包含于廣義格林關系H*，～內的最大同余μ。

1 廣義格林(*，～)關系定義

為了陳述方便，首先回顧一下廣義格林(*，～)關系的定義［3］:

其中:

容易驗證，L?L*?。特別地，如果S是正則半群，則L=L*=。如果U是S的一個正則子半群，不難證明:

對偶的，可以得到關于關系R的相關結論。

本文未給出的其他概念和記號，見文獻［2］和文獻［4-10］。

2 弱適當半群定義和特征

定義1 令S為一半群，E(S)為S的冪等元集合。半群S稱為r-弱適當半群，如果S的冪等元集形成半格且每一-類都含有冪等元。半群S稱為弱適當半群，如果S的冪等元集形成半格且每一L*-類和每一-類都含有冪等元。

命題1 令S為一半群，E是S的冪等元集合，T是S上的正則元集合，則下面各款等價:

1)S是弱適當半群;

2)T是S的逆子半群，E與S的每一個L*-類有非空的交集，E與S的每一個-類有非空的交集;

3)T是S的逆子半群，T與S的每一個L*-類有非空的交集，T與S的每一個-類有非空的交集;

4)S的每一個L*-類和每一個-類有且僅有一個冪等元，同時由E所生成的子半群是正則的。

證 1)?2)假設1)成立，則S的每個L*-類和每個-類都含有冪等元。因此，E與S的每一L*-類和每一-類有非空的交集。對于任意a，b∈T，則存在a'∈V(a)，b'∈V(b)，使得aa'a=a，bb'b=b。進一步得

因此ab是正則的，即ab∈T。由此可證，T是S的子半群。又因為T是正則的且冪等元可換，所以T是S的逆子半群。

2)?3)如果2)成立，根據E?T，3)也成立。

3)?4)如果3)成立，令L是S的一個L*-類，則有(?a∈L∩T)(a－1a，a)∈LS，這里，a－1∈V(a)且a－1唯一，則每一L*-類含有唯一的冪等元。令R是S的一個-類，則(?b∈ R ∩ T)(b－1b，b)∈ RS。這里，b－1∈V(b)且b－1唯一，因此每個-類只含有一個冪等元。因為T是逆半群且E?T，則E形成半格，則 E=〈E〉。顯然 E ?〈E〉。令 a∈〈E〉，得(?e，f∈E)a=ef，a2=(ef)(ef)=ef=a。由此可知a∈E。因此 E=〈E〉。

4)?3)只需證明E可形成半格。因為E所生成子半群是正則的，則〈E〉的每一個L-類和每一個R-類有且僅有一個冪等元。因此〈E〉是逆半群。不難證明E=〈E〉，所以E可形成半格。

注意到，如果S是弱適當半群，則每一個L*-類和每一個-類只含有一個冪等元。令a∈S，把a所在的L*-類中的唯一冪等元記為a*，a所在的-類中的唯一冪等元記為a+。

引理1［3］令S是一個半群，則下面各款成立:

1)L*是一個右同余;

命題2 令S為一弱適當半群，E為S的冪等元集合。則對任意a，b∈S，下面各款成立:

1)aL*b? a*=b*，a~Rb?a+=b+;

2)(ab)*=(a*b)*，一般地，(ab)+≠(ab+)+;

2)因為(a，a*)∈L*且L*是S上的一個右同余，則(ab，a*b)∈ L*，因此(ab)*=(a*b)*。

4)顯然。

3 主要結果及其證明

令S是一弱適當半群，E為冪等元集合。則包含在L*的最大同余μL*定義為

其中αa是從E1到E1的映射，對任意的x∈E1，有xαa=(xa)*。

為了證明下面的命題，首先定義映射β:S→Γ(E1)為

這里βa:E1→E1定義為

接下來證明映射 β 滿足等式(aβ)(bβ)=(ba)β。令x ∈ E1，a，b ∈ S。 則 xβaβb= (ax)+βb=(b(ax)+)+=(bax)+=xβba。因此 βaβb= βba。

證 顯然，μ是等價關系。令a1，a2，b1，b2∈S。如果(a1，a2)∈ μ，(b1，b2)∈ μ，則 βa1= βa2，βb1=βb2。因此 a1β =a2β，b1β =b2β。進一步得

即(b1a1)β =(b2a2)β，即 βb1a1= βb2a2。由 μR的定義知，(b1a1，b2a2)∈ μ，因此 μ~R是一個同余。令(a，b)∈ μ，則 a+=b+。因此(a，b)∈，即 μ?。

證 令a，b∈S，a+=b+，且對于任意的x∈a+E滿足(xa)*=(xb)*。則對于任意的y∈E有(ya+a)*=(ya+b)*=(yb+b)*=(yb)*。所以，(a，b)∈μL*。另一方面，如果 a*=b*，且對于任意的y∈a*E，滿足(ay)+=(by)+，則對于任意的x∈E，有(ax)+=(aa*x)+=(ba*x)+=(bb*x)+=(bx)+。所以(a，b)∈ μ。

對于右適當半群S，如果滿足μL*=l，則稱S是右基本的。下面給出基本弱適當半群的定義。

定義2 令S是一弱適當半群，則S稱為是基本的，如果 μ =l。

證 由推論1可得，存在某元素 e∈ E，使得(aμ)*=eμ。利用等式(aμ)(a*μ)=(aμ)(eμ)=aμ，可以得到(eμ)(a*μ)=eμ，即(ea*，e)∈ μ，則ea*=e。另一方面，(a，ae)∈ μ，μ ? μL*，所以，a*=(ae)*=a*e，即e=a*。同理可得，存在某元素 f∈ E，使得(aμ)*=fμ。因為(a+μ)(aμ)=aμ =(fμ)(aμ)，則有(a+μ)(fμ)=fμ，即(a+f，f)∈μ，a+f=f。另外，從aμ =(fμ)(aμ)可以看出，(a，fa)∈μ;又因為μ?μ，則a+=(fa)+=fa+，即f=a+。綜上，命題得證。

當S是弱適當半群時，可以考慮把αa，βa的前域分別限制在集合a+E和集合a*E上，則

αa:a+E→a*E定義為

eαa=(ea)*(e∈ a+E);

βa:a*E→a+E定義為

eβa=(ae)+(e∈ a*E)。

(?x ∈ a+E)xαaβa≥ x，(?y ∈ a*E)yβaαa≥ y。

證 如果x∈a+E，則xαaβa=(a(xa)*)+。又因為x(a(xa)*)+=(xa(xa)*)+=(xa)+=xa+=x。

所以 xαaβa≥ x。同理，yβaαa≥ y。

定義3 弱適當半群S稱為是弱型A半群，如果

(?a∈ S，e∈ E)ea=a(ea)*，ae=(ae)+a。

1)S是弱型A半群;

2)映射 αa，βa是單射。

證 1)?2)假設S是弱型A半群，令a∈S，e，f∈a+E。如果 eαa=fαa，則(ea)*=(fa)*，則 ea=a(ea)*=a(fa)*=fa。因此 e=ea+=(ea)+=(fa)+=fa+=f，可見 αa是單射。同理，不難證明 βa也是單射。

2)?1)假設對于任意a∈S，映射 αa，βa是單射。令 x∈ a+E 且 e=xαaβa。由映射 αa，βa的定義，易證e∈a+E。再根據引理3，進一步可得x≤e。因為(ea)+=ea+=e，因此 dom αea=eE。同時有

xαeaβea=xαeαaβaβe=xαaβaβe=eβe=e，eαeaβea=eαeαaβaβe=(eαaβa)βe=(eαaβa)βee=e。注意到 αea，βea都是單射，則 e=x。因此 αaβa=1a+E。同理可證 βaαa=1a*E。

令 p=ea+∈ a+E，則 pαaβa=(a(pa)*)+=p，則

ea=ea+a=pa=(pa)(pa)*=

(a(pa)*)+a(pa)*=a(pa)*=a(ea)*。

令 q=a*e∈ a*E，則 qβaαa=((aq)+a)*=q，則

ae=aa*e=aq=(aq)+aq=(aq)+a=

((aq)+a)*=(aq)+a=(ae)+a。

綜上所述，S是弱型A半群。

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