基于矢量陣列的信源數估計算法

李 楠 程錦房 何光進 張 煒

（海軍工程大學兵器系 武漢 430033）

空間信號的波達方位估計是空間譜估計中的重要研究方向，其中大部分算法均需要知道入射信號源數，但在實際場合情況下信號源數往往未知，這就需要預先估計信號源數.如果信源數估計錯誤，就會導致信號子空間和噪聲子空間劃分不準，即兩者不能完全正交，從而造成估計信號源時的漏報或虛警，同時導致信號波達方位的估計偏差.因此，只有準確估計出信號源數才能有效地獲取信號源的波達方位.

目前常用的信號源數估計方法有：基于信息論準則的方法、蓋氏圓方法、平滑秩法、矩陣分解法以及正則相關等方法［1－2］.基于信息論的 AIC準則不是一致性估計，即在大快拍數的場合，仍然有較大的誤差概率，而最小描述長度準則是一致性估計，也就是在高信噪比情況下該準則有較好的性能，但在小信噪比條件下該準則相比AIC有高的誤差概率.蓋氏圓方法需要人工設置閾值，且在信噪比較低時常常會產生欠估計或過估計.平滑秩法和矩陣分解法只適用于高信噪比和大快拍條件，且兩者均是以犧牲陣列孔徑為代價的.正則相關技術需要2個空間分離的陣列，硬件開銷大，實際應用中有困難.

文中提出一種基于核一致判別的信源數估計方法，它利用并行因子分析方法表示信號協方差張量，通過計算該模型的秩來確定信源數，由于矢量水聽器聲壓和振速通道均含有信源數信息，本方法能夠充分利用多路信號的特點，在低信噪比和小快拍條件下實現信源數的估計.本文將它稱之為核一致判別信源數估計方法.

1 矢量陣列輸出互譜張量模型

一均勻線陣由M個矢量水聽器組成，用來接收R個遠場窄帶信號，單矢量水聽器信道數為Nc.設各個信號源發出的信號對于該均勻線列陣的入射角為（θ1，θ2，…，θR），則矢量陣的輸出模型為

式中：A（φ）＝ ［a（φ1）?u1，a（φ2）?u2，…，a（φR）?uR］；符號 ? 表示Kronecker積，又稱直積；a（φr）＝ ［1，e－jβr，…，e－j（M－1）βr］T為信號導向矢量為相鄰陣元間同一信號的相位延遲；ur＝ ［1，cosθr，sinθr］為信號傳播矢量；S（t）＝［xi1（t），xi2（t），…，xiM（t）］T為入射信號波前矩陣（i＝1，2，…，Nc）；N（t）為噪聲矩陣.設信號和噪聲不相關，各陣元接收到的信號互相獨立，則輸出信號協方差為一個4階張量（M×Nc×M×Nc.其中：M為陣元數；Nc為單矢量水聽器信道數）.

2 并行因子分析

并行因子分析最早應用在化學光譜分析中，僅僅是在近幾年才被引入到陣列信號處理當中來.它是一種多維低秩分解方法，是二維低秩分解的擴展.以三維張量X∈CI×J×K為例，它可以分解為

式中：ar，br，cr分別為矩陣A∈I×R，B∈J×R和C∈K×R的第r列向量；N∈CI×J×K表示噪聲，見圖1.實際情況下，信源功率一般是不等的，為提高信源數的估計性能，要對信號的功率進行歸一化，使得

圖1 三階張量并行因子分解

任意一個三階張量X秩的定義與矩陣秩的定義類似，即分解張量X所需要的秩為1的三階張量的最小數目［3］.并行因子分析方法的最大優點是它的分解具有惟一性，而在傳統的矩陣雙線性分解中，如果沒有足夠的輔助信息（例如統計獨立、正交等條件）一般分解不惟一，另外并行因子分析對噪聲也具有較強的魯棒性.下面通過核一致判別法確定張量的秩，從而實現信源數的估計.

3 核一致判別法估計信源數

為便于討論和讀者理解，這里仍以三階張量［4］為例進行說明，該方法可以直接向更高階擴展（本文輸出信號協方差為四階張量）.

考慮一個三階秩R并行因子分析模型的矩陣化形式，它可表示為

式中：X∈CI×JK為張量X∈CI×J×K的矩陣化形式，即表示張量X的切片展開；矩陣A∈CI×R，B∈CJ×R，C∈CK×R和N∈CI×JK.⊙表示 Khatri－Rao積.

文獻［4］表明，并行因子分析模型是Tucker3模型的一種特殊形式，所以經過信源功率歸一化后，上面并行因子分析模型又可寫成如下形式

式中：核矩陣T（R×RR）為張量T∈CR×R×R的切片展開形式，張量T是三階超對角張量，即張量元素滿足

式中：δ（·）為Kronecker函數.

矩陣A∈CI×R，B∈CJ×R，C∈CK×R均含有并行因子分析模型的秩信息，即信源個數信息，為有效提取三階張量秩，需計算下式的極小值［5］

式中：矩陣G∈CR×RR是三階張量G∈CR×R×R的切片展開形式.

由文獻［6］可知式（7）可寫成如下形式

式中：vecX為矩陣X的向量化表示.

式（12）的極小值解為

式中：＋為矩陣（C?B?A）的廣義逆.

經研究發現［7］，噪聲能量在張量核G∈CR×R×R中的分布具有趨于均勻化的特性，即張量G∈CR×R×R中的每個元素具有相近似的值，而信源能量在張量核G∈CR×R×R中的分布主要集中于超對角線上，尤其信源在功率歸一化后，張量核G∈CR×R×R與超對角張量T∈CR×R×R的差范數為零，即.通過計算核張量G與T的相似性最終確定信源數，這就是本文的理論基礎.

核一致性可表示為

對于秩為1的張量核，由于沒有非對角元素，所以核一致性為100%，隨著張量秩R的增加，核一致性會減小，當秩R達到最大（即達到該張量秩真值）時，若再增加秩R，則核一致性會迅速降低，原因在于噪聲的引入會導致非超對角線元素值的迅速增長，這就是判別張量秩的主要依據.

以上討論都是基于信源之間是相互獨立情況下進行的，但實際上存在信源間存在相關甚至相干的情況，所以與二階矩陣類似，在確定張量秩之前需對信號譜張量進行空間平滑，方法采用與文獻［8］相同的方法即可.

4 算 例

為研究文中提出的核一致判別確定信源數方法的性能，進行了大量的數值計算，結果如下.

算例1研究核一致判別信源數估計的成功概率隨信噪比的變化，并與蓋氏圓法和最小長度描述法進行比較.設有10個陣元矢量水聽器線陣，陣元間距為半波長，3個獨立的窄帶信號分別以15°，45°和60°的入射角入射到均勻線陣上，信號頻率為100Hz，噪聲為空間高斯白噪聲，快拍數為50，信噪比由－5dB變到20dB.核一致判別法、蓋氏圓法和最小長度描述法分別獨立估計信源數300次，用蒙特卡洛法得到各自的正確估計概率，見圖2.由圖2可見：在低信噪比時，核一致判別法估計成功概率明顯好于蓋氏圓和最小描述長度法，此外，蓋氏圓法需要根據經驗進行人工設定判據的閾值.

圖2 3種方法估計正確概率隨信噪比的變化

圖3 3種方法估計正確概率隨快拍數的變化

算例2研究在不同快拍條件下，核一致判別法估計信源數成功的概率，并與蓋氏圓法、最小描述長度法進行比較.設有2個獨立的窄帶遠場信號入射到均勻線陣上，入射角度分別為30°和75°，快拍數由30變化到180，信噪比為5dB，其他條件同算例1，用蒙特卡洛法計算，結果見圖3.由圖3可見：在小快拍條件下，核一致判別法依然要好于蓋氏圓法和最小描述長度法，原因在于矢量水聽器具有多路信號接收優勢，能彌補采樣數目小的缺點.

算例3研究獨立信源入射角夾角與信源數估計正確概率的關系，設信噪比為5dB，快拍數為100，2個獨立窄帶信號入射到均勻線列陣上，一個信號入射角為40°，另一個信號的入射角由41°變到50°，間距為1°，用蒙特卡洛法估計200次，其他條件同算例2，結果見圖4.由圖4可見，核一致判別法明與蓋氏圓法估計概率基本相當，優于最小描述長度法，在夾角大于5°后，本文提出的方法估計的準確概率近似為1.

圖4 3種方法估計正確概率隨夾角變化

算例4研究空間相關色噪聲下信源數估計正確概率，并與蓋氏圓法、最小描述長度法進行比較，空間相關色噪聲采用文獻［9］提供的模型，其他條件同算例2，信噪比為10dB，結果見圖5.由圖5可見：在相關系數大時，本文提供的方法明顯好于蓋氏圓法和最小描述長度法.

圖5 空間相關色噪聲下3種方法估計正確概率比較

5 結束語

信源數準確估計是很多方位估計的重要前提和基礎，以往基于矢量水聽器的方位估計算法都是利用聲能流對各向同性噪聲的良好抑制實現的，但就如何提高聲矢量陣在信源數的估計準確度方面沒有提出切實可行的辦法.本文通過多維信號處理提取了振速通道內含有的信源數信息，比傳統方法能夠在更惡劣的環境噪聲情況下得到信源數，從而為后續方位估計提供基礎.

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